Finden von Vier-Wellen-Mischtermen in der Photon-Atom-Wechselwirkung (durch Hinzufügen von for-Feldern zu EIT)

Ich hoffe, es ist in Ordnung, wenn ich nicht versuche, Fehler in Ihrem Ansatz zu finden, sondern nur beschreibe, wie ich das Problem auf ähnliche Weise lösen würde. Übrigens denke ich, dass Sie eigentlich in die richtige Richtung gehen, aber die gelegentlichen Tippfehler und Ungereimtheiten haben es mir etwas schwer gemacht, die problematischen Stellen herauszugreifen.

Zuallererst scheint es, wie in einem der Kommentare erwähnt, einige Fehler im ursprünglichen Hamiltonian zu geben. Ich glaube, was du schreiben wolltest, ist so etwas wie

Ich denke auch, dass es sinnvoll ist, das Problem so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor man versucht, es zu verstehen. Also statt dem allgemeinen Fall, wo die Umwandlung zwischen Frequenzen$\omega_p$Und$\omega_s$in beide Richtungen passieren kann, werde ich den einfacheren Fall betrachten, wo wir nur den anwenden$\omega_p$pumpen und nach Ausgang bei Frequenz suchen$\omega_s$(dh$E_s=0$im Hamiltonian). Die gegenteilige Umwandlung kann ganz analog analysiert werden.

Bevor wir kompliziert rechnen, hier ist mein intuitives Verständnis dafür, wie Wellenmischungen hier ablaufen würden: in Abwesenheit von$E_s$, können wir dies fast als das Standard-EIT-Problem bei Pumpen betrachten$E_p$Und$E_c$außer jetzt gibt es ein zusätzliches Signal mit Amplitude$E_d$die leicht verstimmt ist (um$\Delta_1$) aus$\omega_c$. Wenn diese Verstimmung klein ist, können wir uns die Kombination von anschauen$E_c$Und$E_d$fährt als etwas mit Frequenz$\omega_c$aber mit einer langsam variierenden Amplitude und Phase. Die langsame Variation moduliert den Transmissionskoeffizienten$T$des EIT-Systems für den schwachen Sondenton$E_p$. Im Ausgabefeld sollten Sie also grundsätzlich mit einem Begriff rechnen$T(t)E_p\cos(\omega_p t+\phi_p)$, Wo$T(t)$ist periodisch mit der Frequenz$\Delta_1$. Durch Multiplizieren von Termen, die um oszillieren$\omega_p$Und$\Delta_1$, erhalten Sie natürlich eine Komponente bei$\omega_p+\Delta_1 = \omega_s$. Und voila, das ist Ihr Frequenzmischprozess.

Nun, um dies tatsächlich abzuleiten. Zuerst führen wir die Frame-Transformation durch

Auf diese Weise ist der effektive Hamiltonoperator

Wir wissen das$\omega_3-\omega_1-\omega_p=-\Delta_2$Und$\omega_2-\omega_1-\omega_p=-\omega_c$. Die einzigen Terme, die langsam veränderliche Komponenten aufweisen, die die Annäherung an rotierende Wellen überleben, sind diejenigen, die proportional zu sind$\mu_{13}E_p$,$\mu_{23}E_c$Und$\mu_{23}E_d$(wir nehmen die Verstimmung zwischen$\omega_c$Und$\omega_d$ist nicht groß genug, um das fallen zu lassen$\mu_{23}E_d$Begriff). Nach der Annäherung erhalten wir

Der Einfachheit halber werden wir die Kopplungsterme mit bezeichnen$\Omega_p$Und$\Omega_c(t)$, was uns gibt

Jetzt glaube ich, dass es ein wichtiger Schritt ist, das anzunehmen$\Delta_1$ist viel langsamer als die Zeitskala, auf der sich das System dem Gleichgewicht nähert. Auf diese Weise können Sie die Dichtematrix annehmen$\rho(t)$des Systems zu jeder Zeit$t$ist ungefähr der stationäre Zustand, der dem Hamilton-Operator entspricht$H_{\mathrm{eff}}(t)$. Genau wie Sie gehe ich davon aus$\rho_{11}\approx 1$,$\rho_{22}\approx\rho_{33}\approx 0$und schreiben Sie das System stationärer Gleichungen für$\rho_{12}$,$\rho_{13}$Und$\rho_{32}$(Die anderen drei nicht-diagonalen Elemente sind immer komplexe Konjugierte der ersten drei, also können wir uns die Mühe genauso gut sparen und uns vorerst nicht darum kümmern):

Lassen Sie uns jetzt innehalten und beachten, dass diese Gleichungen denen, die Sie erhalten, ziemlich ähnlich sind, mit Ausnahme des Begriffs mit$\gamma$in meiner ersten Gleichung, die den Kohärenzverlust zwischen den Zuständen 1 und 2 beschreibt und die Sie nicht haben. Warum habe ich das hinzugefügt? Es stellt sich heraus, dass die Lösung dieser Gleichungen ohne diesen Dekohärenzmechanismus etwas schlecht erzogen ist. Wenn beispielsweise alle Laufwerke ausgeschaltet sind ($\Omega_p = \Omega_c = 0$),$\rho_{12}$ist unbestimmt - es fällt vollständig aus den Gleichungen heraus. Sehen Sie sich außerdem an, was passiert, wenn Sie das Verhältnis festlegen$\eta:=\Omega_p/\Omega_c$und lass$\Omega_c\to 0$. Das kannst du zeigen$\rho_{12}$hat eine endliche Grenze, die davon abhängt$\eta$. Dies bedeutet, dass die Dichtematrixelemente als Funktionen der beiden Variablen$\Omega_p$Und$\Omega_c$zeigen ein ziemlich fieses Verhalten$\Omega_p=\Omega_c=0$. Am wichtigsten ist, dass sie nicht zu einer Taylor-Reihe erweitert werden können$\Omega_p$Und$\Omega_c$. Aber genau das möchten Sie bei Ihrer Suche nach den Begriffen für die Wellenmischung tun.

Eine andere Sichtweise ist, dass Sie zur Identifizierung des Wellenmischungsprozesses die Pumpen als Störung behandeln möchten. Aber der Erzeuger der freien Dynamik des Systems ist gewissermaßen entartet (er hat mehrere stationäre Zustände), und deshalb versagt die Störungstheorie.

Auf jeden Fall sollte der von mir hinzugefügte Dekohärenzterm dies beheben, da er sicherstellt, dass das freie, nicht angetriebene System nur einen einzigen stationären Zustand mit verschwindenden Matrixelementen außerhalb der Diagonale hat. Das Lösen der Gleichungen gibt uns dann

Jetzt erinnern wir uns daran, dass wir rückgängig machen müssen, um uns wieder in den Laborrahmen zu verwandeln$U(t)$. Das bedeutet multiplizieren$\rho_{12}$von$\exp(\mathrm{i}(\omega_2-\omega_1)t)$Und$\rho_{13}$von$\exp(\mathrm{i}\omega_p t)$. Wir müssen uns auch ausdrücken$\Omega_p$Und$\Omega_c(t)$bezüglich$E_p$,$E_c$Und$E_d$. Das sagt uns dann eine einfache Rechnung$\rho_{12}$besteht aus Termen, die mit Frequenzen oszillieren$\omega_2-\omega_1$Und$\omega_2-\omega_1+\Delta_1$. Keines davon entspricht dem gewünschten$\omega_s$. Der Term erster Ordnung im Matrixelement$\rho_{13}$schwingt bei$\omega_p$und ist nicht interessant. Der zweite Term hat andererseits eine Komponente bei der Frequenz$\Delta_1+\omega_p = \omega_s$. Dieser Begriff steht für den Mischprozess, den Sie anstreben. Explizit können wir es schreiben als

Haftungsausschluss : Ich bin mir ziemlich sicher, dass Minuszeichen, Faktoren von 2 und andere lästige Dinge aufgrund meiner Unachtsamkeit dabei verloren gegangen sind. Aber ich glaube, das Wesentliche des ganzen Geschäfts sollte immer noch gelten. Ich hoffe, es wird nützlich sein.