Ich suche nach einer Möglichkeit, den Winkel des Arms eines Gleichgewichtsinstruments auszudrücken, ausgedrückt durch das Gewicht, das in einem Arm vorhanden ist. Für eine zweibeinige Balance könnte man die Momentformel verwenden: Moment = Kraft * Position, aber ich benutze eine dreibeinige Balance mit einem Winkel von 120 Grad zwischen jedem Bein. Existiert eine solche Formel oder könnte die Momentenformel in dieser Situation verwendet werden?
Sie müssen wissen, wo sich der Massenmittelpunkt für die drei Massen (auf den drei Armen) befindet. Dies ist natürlich nur der positionsgewichtete Mittelwert - also wenn die Waage auf Position steht , und Masse enthalten , dann liegt der Schwerpunkt bei
Beachten Sie, dass wir hier die Vektoraddition verwenden - dies ist wirklich nur eine 2D- (oder 3D-) Version der Formel, die Sie mit der einfachen Waage verwendet haben.
Um dies in einen Auslenkungswinkel umzurechnen, muss man sich überlegen, welche Rückstellkraft auftritt, wenn die Unwucht aus dem Gleichgewicht gerät – meist liegt der Massenschwerpunkt unterhalb des Auflagepunktes, sodass bei der Auslenkung ein Rückstellmoment entsteht. Aber das hängt von den Details der Konstruktion ab.
Dieses Problem oder vielmehr diese Frage ist einem Problem sehr ähnlich, das ich gelöst habe, als ich den Winkel eines Spiegels in zwei Freiheitsgraden (Gieren und Nicken) mit einem zentralen Drehpunkt oder Drehpunkt, um den sich der Spiegel drehte, und drei piezoelektrischen Aktuatoren, die um 120 Grad voneinander entfernt wirkten, betätigte die kreisförmige Peripherie des Spiegels. Um eine dreiachsige Betätigung in einen zweiachsigen orthogonalen Referenzrahmen umzuwandeln, ist etwas sehr Ähnliches wie die Clarke-Transformation erforderlich , die häufig verwendet wird, um Dreiphasenmotoren mit orthogonalen Achsensteuerungen zu steuern, die auch als Direktquadratur- oder DQ-Steuerung bekannt sind.
Wie auch immer, eine Möglichkeit, wie Sie das Problem angehen könnten, so wie ich das Betätigungsproblem angegangen bin, wäre, ein Vektordiagramm in drei Räumen zu zeichnen. Das wären drei gleich lange Vektoren, die vom Ursprung (dem Rotationspunkt) im Abstand von 120 Grad nach außen zeigen. In meiner Anwendung befasste ich mich mit der Kraft und Verschiebung an jedem Punkt der Aktuatoren relativ zum zentralen Drehpunkt. In Ihrem Fall werden die Kräfte von jeder Masse im Gravitationsfeld aufgebracht. Wenn es keine zentrale Rückstellkraft im Gleichgewicht gibt (nur die Positionsbeschränkung des Drehpunkts), dann stellt sich das Gleichgewicht ein, wenn sich alle Momente ausgleichen. Der Gleichgewichtswinkel wird dann durch die Geometrie Ihres Waagendesigns bestimmt.
In Anbetracht der Geometrie würde die Spitze jedes Vektors bei jeder Masse enden, die Sie "wiegen". Bei der praktischen Ausführung der Waage müssen Sie entscheiden, ob jedes Gewicht feststehend oder an jeder Stelle mit einem Drehgelenk versehen wird. Aber zunächst können Sie davon ausgehen, dass die Gewichtskraft vom Befestigungspunkt immer nach unten wirkt. Schreiben Sie aus dieser geometrischen Anordnung die Gleichungen der drei Vektoren im xyz-Raum relativ zu den Gier-Neigungswinkeln oder Richtungskosinussen, wenn Sie möchten.
Aber es gibt eine verbleibende Gleichung, die das gesamte System für eine Lösung einschränkt und zusammenbindet. Die Spitze jedes der drei Vektoren muss koplanar zur Ebene der Waage bleiben. Die koplanare Beschränkung kann erzwungen werden, indem verlangt wird, dass das Vektorpunktkreuzprodukt der drei Vektoren immer gleich Null ist.
John Alexiou