Gleichgewicht eines Turms aus 2-d-Blöcken

Im Bild unten,

  • Alle Blöcke sind reibungsfrei und identisch mit Seitenlänge und -höhe H , Gewicht w & Schwerpunkt an ihren geometrischen Mittelpunkten.
  • Die 2 untersten Blöcke sind auf festem Boden.
  • Der Abstand von der Ecke jedes Blocks zum Mittelpunkt der Unterseite der Box darüber ist angegeben (nämlich A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ).
  • Kräfte F A C Und F B C sind die resultierenden Reaktionskräfte, die von Blöcken ausgeübt werden A & B An C .Blockkonfiguration

Mich interessiert das Verhalten dieser Blöcke unmittelbar nach dem Setzen in diese Konfiguration und dem Loslassen, oder genauer gesagt: Für welche Beziehung zwischen A 1 , A 2 , B 1 & B 2 :

  • Tun A , B Und C bewegen? - Fall 1
  • nur tun A Und C bewegen? - Fall 2
  • nur tun B Und C bewegen? - Fall 3
  • ist die Konfiguration stabil (ändert sich überhaupt nicht, wenn sie einmal unter dieser Bedingung eingestellt und dann verlassen wird.)?- Fall 4

Für Interessierte, hier ist mein Ansatz und was (glaube ich) ich bereits weiß:

Bei dem Versuch, die Grenzbedingungen (die Grenzbedingungen zwischen Gleichgewicht und Nichtgleichgewicht) zu finden, habe ich das zunächst angenommen C wird tendenziell im Gleichgewicht sein. (Ich habe keine strenge Rechtfertigung für diese Annahme, nur eine Vermutung, dass "hier nicht das Problem liegt"). Unter dieser Bedingung F A C & F B C errechnet werden können, und die Momente aufgrund ihres "Gleichen und Gegensätzlichen" ( F C A & F C B ) um P 1 Und P 2 erhältlich als:

M C A ( X , j ) = w ( .5 + A 1 − A 2 − X ) / ( X / j + 1 )
M C B ( j , X ) = w ( .5 + B 1 − B 2 − j ) / ( j / X + 1 )
Wo X & j sind die senkrechten Abstände der jeweiligen Kräfte vom Mittelpunkt C .

Mit etwas Ad-hoc- und wackeliger Logik bin ich zu Folgendem gekommen:

  • Wenn

    w ⋅ A 2 < M C A ( .5 , .5 ) & w ⋅ B 2 < M C B ( .5 , .5 )
    Fall-1 tritt auf mit A & B berühren C nur durch seine Ecken.

  • Wenn

    w ⋅ A 2 = M C A ( X 1 , .5 ) & w ⋅ B 2 < M C B ( .5 , X 1 )
    Wo A 1 ⩽ X 1 < .5 Fall-1 tritt auf mit C dreht sich mit A Aufrechterhaltung einer Kontaktfläche mit A aber nur ein Punktkontakt mit B , aber wenn
    w ⋅ A 2 = M C A ( X 1 , .5 ) & w ⋅ B 2 ⩾ M C B ( .5 , X 1 )
    die Konfiguration ist stabil (Fall-4).

  • Wenn

    w ⋅ A 2 > M C A ( A 1 , .5 ) & w ⋅ B 2 < M C B ( .5 , A 1 )
    Fall-3 tritt auf, aber wenn
    w ⋅ A 2 > M C A ( A 1 , .5 ) & w ⋅ B 2 < M C B ( .5 , A 1 )
    die Konfiguration ist stabil (Fall-4) .

  • Die oben genannten Bedingungen mit A & B zusammen mit ihren entsprechenden Variablen ausgetauscht.

Aber ich habe keine Möglichkeit, dies zu überprüfen oder ein zufriedenstellendes Argument für diese Bedingungen zu liefern, insbesondere für die fett gedruckten Teile (ich bin dazu gekommen, indem ich verschiedene Kombinationen von Argumenten für M C A & M C B & darüber nachzudenken, was in jedem Fall passieren würde). Ist diese Reihe von Bedingungen richtig?. Was wäre ein guter Ansatz mit einer logischen Abfolge von Schritten, um es zu lösen?

Die Kräfte treten immer an den Kontaktkanten auf.

Antworten (2)

Überarbeitete Antwort

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die Blöcke A, B und C sind identisch, also sind die Fälle 2 und 3 gleich. In Fall 1 drehen sich die Blöcke A und B gleichzeitig um P1 und P2, während C gleichermaßen auf P5 und P3 gestützt wird. In Fall 2 (im Diagramm oben dargestellt) dreht sich Block C um P4, während er auch A bei P5 berührt. Ich nehme an, Fall 4 bedeutet, dass sich keine Blöcke bewegen, also ist dies dasselbe wie zu sagen, dass keiner der Fälle 1 oder 2 zutrifft.

Im Fall 1, wenn die 2 Blöcke an der Basis nicht weiter voneinander entfernt sind als 1 + 2 H , Wo H ist die Höhe jedes Blocks - dh wenn ( A 1 + B 1 ) − ( A 2 + B 2 ) < 2 H - dann fällt Block C nicht zu Boden. Ebenso können sich im Fall 2 die Blöcke A und C verklemmen, wenn die Endfläche von C flach an der oberen Fläche von A anliegt. Diese Komplikationen fügen weitere Einschränkungen hinzu, wenn "instabil" bedeutet, dass Block C den Boden erreicht. Der Einfachheit halber gehe ich davon aus, dass "instabil" bedeutet, dass sich die Blöcke von der Ausgangsposition in eine andere Konfiguration bewegen.

Ihr Ansatz ist richtig, aber Sie müssen ihn vervollständigen. Beseitigen w von Ihren Ungleichheiten durch Substitution für M , zuordnen X Und j ihre Extremwerte wie im 1. Absatz, und ordnen Sie sie neu an, um nur Ungleichungen zu erhalten, die sich darauf beziehen A 1 , A 2 , B 1 Und B 2 .

Ich denke, Ihre Sorge ist, dass es nicht genügend Gleichungen gibt, mit denen Sie unabhängig voneinander Grenzwerte für jede der 4 Variablen finden können. Dies ist unvermeidlich, da das Problem nicht genügend Einschränkungen enthält. Jede der 4 Variablen kann unabhängig angepasst werden, während es nur 2 Ungleichungen für jeden Modus (Fall) des Kippens gibt, die sich aus dem Ausgleich der Momente bei P1 und P2 ergeben.

Für Fall 1 die Verhältnisse R A = A 1 A 2 Und R B = B 1 B 2 müssen jeweils kleiner als dieselbe konstante Ganzzahl sein.

Für Fall 2 die Verhältnisse R A Und R B müssen jeweils kleiner als ein kritischer Wert sein, der davon abhängt B 1 allein, ein anderer kritischer Wert für jeden.

Die letzte Frage ist, wie man die Stabilitätsbedingungen darstellt. Dies kann entweder auf einem 3D-Plot erfolgen ( R A , R B , B 1 ) , oder auf 2D-Plots von ( R A , R B ) für ausgewählte Werte von B 1 , die von abweichen können 0 Zu 1 2 , oder 2D-Plots von ( R A , B 1 ) Und ( R B , B 1 ) . Die Grenzen ergeben sich aus den obigen Ungleichungen. Der stabile Bereich liegt zwischen den Grenzen und dem Ursprung.

Ich stimme dem zu, was Sie gesagt haben, und bin mir dessen bewusst (wird der 3-D-Fall wirklich ein Polyeder oder etwas Komplizierteres mit gekrümmten Oberflächen sein?). Aber ich denke, ich wollte fragen, wie genau wir diese 4-D-Ungleichungen finden und darstellen?
Außerdem gibt es ein weiteres Problem, wie X Und j Annäherung an die Randbedingungen. zB was passiert wann w ⋅ A 2 < M C A ( .5 , B 1 ) Und M C B ( .5 , .5 ) < w ⋅ B 2 < M C B ( B 1 , .5 ) Ich glaube, Fall 1 kann eintreten, aber wie formuliere ich ein mathematisches Argument für diese und andere solche Situationen?
dh ich fühle das j Ansätze B 1 anstatt .5 habe aber kein konkretes Argument dafür.
Ich denke, Sie sollten 1. beseitigen M Und w damit Sie Ihre Ungleichungen nur in Bezug auf die 4 Variablen sehen können A 1 Zu B 2 . Dann wird klarer, wo die Probleme liegen.
Ich habe es der Kürze halber nicht online gestellt (meine Frage ist schon zu lang), aber wie gesagt, während ich es für mich selbst ausgearbeitet habe, habe ich es eliminiert w Und M und wisse, dass es wirklich nur die vier Größen sind A 1 , A 2 , B 1 & B 2 die im Spiel sind.
Könnten Sie ein wenig im Detail erklären, wie Sie die Bedingungen für Fall 1 & 2 erhalten haben? enthält die Bedingung von Fall 1 den möglichen Unterfall Wann? C rotiert mit A & dreht sich um P 3 oder dreht mit B & dreht sich um P 5 ? (Natürlich in diesem Fall C wird auch auf dem Block rutschen, mit dem er sich dreht, aber da ich nur am ersten Moment interessiert bin, wird das Rutschen keine Rolle spielen, denke ich.)
Das ist ein guter Punkt, wenn A und C zusammenziehen. Nein, daran hatte ich nicht gedacht, also ist es nicht in meinen Bedingungen enthalten. Ich werde meine Lösung noch einmal überprüfen. Warum postest du deine Lösung nicht als Antwort auf deine eigene Frage?
Ich habe keine Lösung.
Vollständige Antworten auf "hausaufgabenähnliche Übungen" werden wahrscheinlich gelöscht. Es ist besser, wenn Sie eine vollständige Lösung als Teil Ihrer Frage posten und fragen, warum Sie an der Richtigkeit zweifeln. Vervollständigen Sie die Berechnung und sehen Sie, was Sie bekommen. Was hindert Sie daran? ... Um auf Ihren Vorschlag zurückzukommen, dass zB C und B um P2 zusammen schwenken könnten, denke ich, dass dies nicht passieren kann, wenn C und B nicht entlang der Kontaktfläche P3P4 zusammengeklebt sind. Andernfalls wird eine infinitesimale Änderung der Reaktion bei P5 den Drehpunkt für C dazu zwingen, sich entweder bei P3 oder P4 niederzulassen.
Diese Richtlinie war mir nicht bekannt. Ich werde tun, was Sie vorschlagen. Meine Frage wird nicht blockiert, weil sie zu lang ist, oder? (da das Einfügen einer komplizierten Lösung wie dieser eine Frage ziemlich langwierig macht).
Nein, es gibt keine Richtlinie zum Löschen langer Fragen. Ich habe einige sehr lange gesehen. Sie müssen nicht jeden Schritt in die Berechnung einbeziehen, nur genug, um anzugeben, wie Sie die Antwort erhalten.

Keine Antwort

Dies ist ein sehr interessantes Problem, aber ich denke, die Konfigurationen zu finden, bei denen der "hintere" Kontaktpunkthub für Instabilität nicht ausreicht. Die folgende Konfiguration ist beispielsweise stabil:

Bild

Dies liegt daran, dass der mittlere Block rechts von den anderen Blöcken "eingeklemmt" wird und durch Reibung gehalten werden kann. Gibt es einen Grund, warum Sie nur Reibungslos betrachten? Ich denke, das ist eine zu starke Vereinfachung ohne Reibung.

Sie müssen auch bedenken, dass kleine Winkeldrehungen das Problem erheblich verändern. Auch in der obigen Situation, wenn der obere Block nicht auf den mittleren Block auf der rechten Seite drückt, wird er herunterfallen. Wenn der obere Block jedoch einen kleinen Winkel hat und Kontakt herstellt, können Sie in einem stabilen Szenario enden.

Mit Stabilität meine ich, ändert sich überhaupt nichts von der in der Frage gezeigten Konfiguration, wenn ich es irgendwie schaffe, es so einzurichten und es dann plötzlich zu verlassen. (Nur aus Gründen der Argumentation, es braucht keine Reibung, damit es in Ihrem Bild stabil ist).
Ohne Reibung gleitet der mittlere rechte Block nach links und fällt schließlich heraus. Daher instabil!
Wenn es CG jenseits der Kante liegt, dann ist es definitiv instabil. Aber wenn nicht, dann kann das Moment aufgrund seines Eigengewichts um den Drehpunkt das Moment aufgrund der ausgeübten Kraft aufheben C , die horizontalen Komponenten der Reaktionskräfte aus der Box darunter und Box C können sich aufheben und ihre vertikalen Komponenten können seinem Gewicht entgegenwirken, so dass es stabil ist, oder?
@alex Du beschreibst die Situation im mittleren linken Block. Mein Punkt ist für den mittleren rechten Block: keine Reibung = instabil, mit Reibung = stabil. Daher ist es unrealistisch und irreführend, Stabilität ohne Reibung zu verstehen.
Ich verstehe nicht, warum die gleiche Logik nicht für den mittleren rechten Block gilt. Ich möchte auch sicherstellen, dass klar ist, dass meine Definition von Stable außerhalb dieser Diskussion "sich nicht einmal geringfügig bewegt, sobald es in der in der Frage gezeigten Konfiguration belassen wird". während dieser unendlich kurzen zeit wird das rutschen wohl keine rolle spielen.
Gleichgewicht eines Turms aus 2-d-Blöcken
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