Angenommen, ein einheitliches Buch liegt auf einem Tisch. Das Buch hat Länge . Aber nicht das ganze Buch liegt ein bisschen auf dem Tisch ragt aus dem Tisch heraus.
Offensichtlich erhalten wir aufgrund der Erfahrung das if , dann bleibt das Buch einfach in Ruhe. Wenn , dann erfährt das Buch ein Drehmoment ungleich Null und fällt schließlich herunter.
Aber wie erhalten wir dieselbe Antwort mit der Physik? Hier ist ein erster Versuch, der anscheinend nicht funktioniert. Gehe der Einfachheit halber davon aus , Dann liegt auf dem Tisch.
Das Buch erfährt eine Normalkraft und eine Gewichtskraft. Um die Gewichtskraft zu finden, reicht es aus, eine Gewichtskraft in der Mitte des Größenbuchs zu nehmen . Der Beitrag zum Drehmoment ist dann (da der Schwerpunkt ist vom Tischrand entfernt). Aber wie findet man das Drehmoment, das sich aus der Normalkraft ergibt? nach dem Newtonschen Gesetz ist nämlich die Größe der Normalkraft gleich der Größe des Gewichts . Jetzt versuche ich das Buch in infinitesimale Bestandteile aufzuteilen und zu integrieren. Ich erhalte
Was läuft also schief? Ist die Normalkraft irgendwie nicht gleichmäßig über die Oberfläche des Tisches? Wenn es ungleichmäßig ist, wie wird es verteilt und wie löse ich dieses Problem wie oben durch Integration?
Übrigens, nur zur Information, ich weiß, wie man dieses Problem folgendermaßen löst: Wenn das Buch irgendwie ein Hebel ist, der nur auf dem Rand (und nicht auf dem Tisch) ruht, dann können wir dieses Problem sehr einfach mit dem Gesetz lösen des Hebels und so. Wenn wir dies tun, finden wir schließlich, dass if , dann muss das Drehmoment "negativ" sein. Die Zwangskraft des Tisches verbietet dies und setzt gerade das Drehmoment an . Es tut mir leid, wenn das nicht viel Sinn macht, aber es ist sowieso nicht meine Hauptfrage. Meine Frage ist, warum die naive Integrationsantwort nicht funktioniert und ob die Normalkraft irgendwie nicht einheitlich ist.
Nein, die Normalkraft verteilt sich nicht gleichmäßig über die Kontaktfläche. Wie Ihre Rechnung zeigt, ist eine Gleichverteilung nicht mit den Gleichgewichtsbedingungen vereinbar.
Das Gewicht des Buches wird gleichmäßig verteilt, weil seine Masse gleichmäßig verteilt ist, aber es gibt keinen Grund, warum die normale Reaktion ebenfalls gleichmäßig verteilt sein sollte. Denn das Buch ist ein starrer Körper, keine Ansammlung identischer, unzusammenhängender Massen. Bei getrennten Massen würde die normale Reaktion auf jede dem Gewicht von jeder entsprechen, was dasselbe ist. Aber es gäbe keine Kraft, um den Teil des Buches zu stützen, der über den Tisch hinausragt. Ein starrer Körper verteilt Kräfte intern neu, sodass das Teil, das über den Tisch hinausragt, von dem Teil auf dem Tisch getragen wird.
Wie die Haftreibung ist die Normalkraft eine Reaktionskraft, eine Reaktion auf andere Kräfte oder Zwänge. Wo immer möglich, passt es sich an, um den Wert anzunehmen, der erforderlich ist, um das System im Gleichgewicht oder in einem definierten Bewegungszustand zu halten. Dazu gehört sowohl das Gleichgewicht von Momenten als auch von Kräften. Sie nimmt zum Rand des Tisches hin zu.
Es ist nicht möglich festzustellen, wie sich die Normalkraft verteilt, wenn Buch und Tisch perfekt starr und flach bleiben. Das Problem ist statisch unbestimmt . Siehe zum Beispiel Ein einfaches (?) Problem des statischen Gleichgewichts .
Wenn das Buch nur an zwei Punkten Kontakt hat, könnten wir die beiden Gleichgewichtsbedingungen (Null-Nettokraft, Null-Nettodrehmoment) lösen, um die Normalkraft an jedem zu bestimmen. Wenn das Buch an 3 oder mehr Punkten Kontakt hat, können wir die Verteilung der Reaktionskräfte zwischen diesen Punkten nicht finden, weil wir nicht genügend Zwangsgleichungen haben. Wenn der Kontakt über eine endliche Fläche erfolgt, gibt es unendlich viele Kontaktpunkte und daher unendlich viele mögliche Verteilungen der normalen Reaktionskraft, die mit den 2 Bedingungen für das Gleichgewicht vereinbar sind.
Echte Bücher und Tische sind bis zu einem gewissen Grad elastisch und verformen sich kleinräumig – sie werden gestaucht oder gedehnt oder gebogen. Das Ausmaß der Verformung hängt von den aufgebrachten Kräften und Drehmomenten und den Materialeigenschaften ab, die durch den Elastizitätsmodul beschrieben werden , Schermodul und Kompressionsmodul . Wenn diese zusätzlichen Gleichungen berücksichtigt werden, die die Materialeigenschaften beschreiben, ist das Problem nicht länger unbestimmt.
Eine mögliche Annahme ist, dass der Kontakt zwischen Buch und Tisch als eine Reihe vertikaler Federn modelliert werden kann, die dem Hooke'schen Gesetz zwischen zwei perfekten Ebenen gehorchen. Die Normalkraft muss also von einem Ende der Kontaktfläche zum anderen linear zunehmen. Ein ähnliches Beispiel finden Sie unter Schätzen der Reaktionskraft an jedem Bein eines vierbeinigen Tisches . Wenn die Oberflächen nicht glatt sind, könnten seitliche Reibungskräfte mit horizontalen Federn modelliert werden, möglicherweise mit einer anderen Federkonstante.
Dies ist jedoch nur eine Vermutung. Es gilt nicht unbedingt. Das Buch oder der Tisch könnte verzogen sein, so dass die Normalkraft ungleichmäßig variiert.
Sammy Rennmaus