g(r)=−∇ψ(r)g(r)=−∇ψ(r)\mathbf{g}(\mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\psi(\mathbf r): Suche nach einem Minuszeichenfehler

Question

g(r)=−∇ψ(r)g(r)=−∇ψ(r)\mathbf{g}(\mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\psi(\mathbf r): Suche nach einem Minuszeichenfehler

Sebastiano

Betrachten Sie die folgende Abbildung

Wo $R=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}=|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$ ist das Modul der $\mathbf{R}$ Vektor hängt nicht nur von der Lage der $P$ Punkt, sondern auch auf den Standort $P'$ bei dem die $dV'$ Volume befindet (fixiert, sobald es sich im Volume befindet $\mathcal{V}$ ). Natürlich, wenn Sie sich ändern $P'=(x',y',z')$ es wird sich auch ändern $\mathbf{R}$ . Da das Potenzial

ψ (R) = - G ∭_{v} \frac{ρ (X^{'}, j^{'}, z^{'}) D X^{'} D j^{'} D z^{'}}{| R - R^{'} |}

$\begin{equation} \psi(\mathbf{r})=-G\iiint_{\mathcal{V}} \frac{\rho(x',y',z')dx'dy'dz'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \end{equation}$

wir berechnen den Gradienten der Menge

\nabla_{(R)} \frac{1}{| R - R^{'} |}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}_{(\mathbf r)}\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|} \end{equation}$

Berechnung der partiellen Ableitungen $\partial_x=\partial/\partial x$ , $\partial_y=\partial/\partial y$ Und $\partial_z=\partial/\partial z$ im Vergleich zur Funktion $1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$ , wir werden haben

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial X} \frac{1}{\sqrt{(X - X^{'})^{2} + (j - j^{'})^{2} + (z - z^{'})^{2}}} & = \frac{\partial}{\partial X} {((X - X^{'})^{2} + (j - j^{'})^{2} + (z - z^{'})^{2})}^{- \frac{1}{2}} = \\ = (- \frac{1}{2}) [\dots \dots]^{- \frac{3}{2}} \cdot 2 \cdot (X - X^{'}) = \\ = - \frac{X - X^{'}}{R^{3}} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} & = \frac{\partial}{\partial x}\left((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2\right)^{-\frac 12}= && \\ &=\left(-\frac 12\right)\Bigl[\ldots\ldots\Bigr]^{-\frac32}\cdot 2\cdot (x-x')= && \\ &=-\frac{x-x'}{R^3} && \\ \end{align*}$

Ähnlich

\frac{\partial}{\partial j} \frac{1}{\sqrt{(X - X^{'})^{2} + (j - j^{'})^{2} + (z - z^{'})^{2}}} = - \frac{j - j^{'}}{R^{3}}

$\frac{\partial}{\partial y}\frac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}=-\frac{y-y'}{R^3}$

\frac{\partial}{\partial z} \frac{1}{\sqrt{(X - X^{'})^{2} + (j - j^{'})^{2} + (z - z^{'})^{2}}} = - \frac{z - z^{'}}{R^{3}}

$\frac{\partial}{\partial z}\frac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}=-\frac{z-z'}{R^3}$

Somit

\nabla_{(R)} \frac{1}{| R - R^{'} |} = - \frac{R - R^{'}}{| R - R^{'} |^{3}} .

$\boldsymbol{\nabla}_{(\mathbf r)}\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}=-\frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}.$ aus denen

\begin{aligned} (*) & \nabla_{(R)} ψ (R) & = \nabla_{(R)} (- G ∭_{v} \frac{ρ (X^{'}, j^{'}, z^{'}) D X^{'} D j^{'} D z^{'}}{| R - R^{'} |}) = \\ = - G ∭_{v} (\nabla_{(R)} \frac{1}{| R - R^{'} |}) ρ (X^{'}, j^{'}, z^{'}) D X^{'} D j^{'} D z^{'} = \\ = - G ∭_{v} (- \frac{R - R^{'}}{| R - R^{'} |^{3}}) ρ (X^{'}, j^{'}, z^{'}) D X^{'} D j^{'} D z^{'} = \\ = G ∭_{v} \frac{ρ (X^{'}, j^{'}, z^{'}) D X^{'} D j^{'} D z^{'}}{R^{2}} \hat{R} = G (R) \end{aligned}

$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}_{(\mathbf{r})}\psi(\mathbf{r}) & = {\mathbf \nabla}_{(\mathbf{r})}\left(-G\iiint_{\mathcal{V}} \frac{\rho(x',y',z')\,dx'dy'dz'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right) = && \tag{*}\\ &= -G\iiint_{\mathcal{V}}\left( {\mathbf \nabla}_{(\mathbf{r})}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)\rho(x',y',z')\,dx'dy'dz'= && \\ &= -G\iiint_{\mathcal{V}} \left(-\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\right)\rho(x',y',z')\,dx'dy'dz' = && \nonumber\\ &= G\iiint_{\mathcal{V}} \frac{\rho(x',y',z') \, dx'dy'dz'}{R^2}\,\mathbf{\widehat R}=\mathbf{g}(\mathbf{r}) && \nonumber\\ \nonumber \end{align}$

Ich frage so freundlich, wenn ich bedenke, dass ich das beweisen muss $\mathbf{g}(\mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\psi(\mathbf r)$ Ich konnte den Fehler eines weniger fehlenden Zeichens in den verschiedenen Schritten des nicht finden $(^*)$ .

Ich hoffe, Sie schätzen meine Bemühungen und meine Frage ist klar.

Oktay Doğangün

Sie sollten bei der Ableitung von vorsichtig sein

1 / R

$1/R$ , und die explizite Definition von

R

$\mathbf{R}$ . Ist es

r - r^{'}

$\mathbf{r}-\mathbf{r}'$ oder

r^{'} - r

$\mathbf{r}'-\mathbf{r}$ ?

Sebastiano

@OktayDoğangün

R = r - r^{'}

$\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r'$ sicherlich. Wäre es umgekehrt gewesen, wäre das Minuszeichen gefunden worden. Vielen Dank für Ihren Kommentar.

ACuriousMind

Bitte beachten Sie, dass hausaufgabenähnliche Fragen und Check-my-Work-Fragen hier im Allgemeinen als nicht zum Thema gehörend betrachtet werden. Wir beabsichtigen, dass unsere Fragen möglicherweise für eine breitere Gruppe von Benutzern nützlich sind als nur die, die gestellt werden, und bevorzugen konzeptionelle Fragen gegenüber solchen, die nur nach einer bestimmten Berechnung fragen. Außerdem ist unklar, was Sie tatsächlich tun, da außer dem Tag "Newtonsche Schwerkraft" nichts darüber zu sagen ist, was einige Ihrer Symbole - wie das Potenzial - tatsächlich bedeuten.

Sebastiano

@ACuriousMind Für mich war es wichtig, auch die Frage des Benutzers, der mir eine unklare Antwort gegeben hat, besser zu verstehen. Offensichtlich habe ich festgestellt, dass der Geist dieser Seite anders ist, als ich denke. Vielen Dank.

Antworten (1)

g(r)=−∇ψ(r)g(r)=−∇ψ(r)\mathbf{g}(\mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\psi(\mathbf r): Suche nach einem Minuszeichenfehler

Sie sollten bei der Ableitung von vorsichtig sein $1/R$ , und die explizite Definition von $\mathbf{R}$ . Ist es $\mathbf{r}-\mathbf{r}'$ oder $\mathbf{r}'-\mathbf{r}$ ?
@OktayDoğangün $\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r'$ sicherlich. Wäre es umgekehrt gewesen, wäre das Minuszeichen gefunden worden. Vielen Dank für Ihren Kommentar.
Bitte beachten Sie, dass hausaufgabenähnliche Fragen und Check-my-Work-Fragen hier im Allgemeinen als nicht zum Thema gehörend betrachtet werden. Wir beabsichtigen, dass unsere Fragen möglicherweise für eine breitere Gruppe von Benutzern nützlich sind als nur die, die gestellt werden, und bevorzugen konzeptionelle Fragen gegenüber solchen, die nur nach einer bestimmten Berechnung fragen. Außerdem ist unklar, was Sie tatsächlich tun, da außer dem Tag "Newtonsche Schwerkraft" nichts darüber zu sagen ist, was einige Ihrer Symbole - wie das Potenzial - tatsächlich bedeuten.
@ACuriousMind Für mich war es wichtig, auch die Frage des Benutzers, der mir eine unklare Antwort gegeben hat, besser zu verstehen. Offensichtlich habe ich festgestellt, dass der Geist dieser Seite anders ist, als ich denke. Vielen Dank.

DinosaurierEi · Answer 1

Der Ausdruck für das durch die Ansammlung von Massen induzierte Gravitationsfeld $P'$ auf dem Punkt P liest

$\mathbf{g}(\mathbf{r})=G\iiint_{\mathcal{V}} \left(-\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\right)\rho(x',y',z')\,dx'dy'dz'$ .

Dies löst das Vorzeichenproblem, wie Sie leicht aus Zeile 3 von (*) sehen können. Wäre das Minuszeichen im Ausdruck nicht vorhanden, würde das Gravitationsfeld in Richtung von zeigen $\mathbf{R}$ was die Kraft abstoßend und nicht anziehend machen würde, wie es die Schwerkraft nach unserem bisherigen Wissen ist.

g(r)=−∇ψ(r)g(r)=−∇ψ(r)\mathbf{g}(\mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\psi(\mathbf r): Suche nach einem Minuszeichenfehler

Sebastiano

Oktay Doğangün

Sebastiano

ACuriousMind

Sebastiano

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DinosaurierEi

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