Was ist mein dMdM\mathrm dM? Gravitationspotential innerhalb eines Massenkreises

Question

Was ist mein dMdM\mathrm dM? Gravitationspotential innerhalb eines Massenkreises

mrmuszynski

Ich versuche, das Gravitationspotential für einen beliebigen Punkt innerhalb eines Rings mit einheitlicher Massendichte zu finden. Der Punkt ist gezwungen, sich in derselben Ebene wie der Ring zu befinden.

Also fangen wir an mit:

Φ = \int G \frac{D M}{R}

$\Phi=\int G\frac{\mathrm dM}{r}$

Nehmen wir an, dass sich die Sehenswürdigkeit entlang der befindet $x$ Achse $r$ weg vom Ursprung (der sich in der Mitte des Rings befindet). Ein beliebiger Punkt auf dem Ring liegt bei:

A \cos ϕ \hat{X} + A Sünde ϕ \hat{j}

$a\cos\phi\hat{x}+a\sin\phi\hat{y}$

Und das Interessante ist natürlich:

R \hat{X}

$r\hat{x}$

Die Entfernung zwischen dem interessierenden Punkt und einem beliebigen Punkt auf dem Ring ist dann:

\sqrt{R^{2} - 2 A R \cos ϕ + A^{2}}

$\sqrt{r^2-2ar\cos\phi+a^2}$

Zurück zum obigen Integral erhalten wir:

Φ = \int G \frac{D M}{\sqrt{R^{2} - 2 A R \cos ϕ + A^{2}}}

$\Phi=\int G\frac{\mathrm dM}{\sqrt{r^2-2ar\cos\phi+a^2}}$

Cool. Ich bin ziemlich glücklich bis zu diesem Punkt, aber was mache ich dagegen $\mathrm dM$ ? Wäre ich in der Mitte des Kreises, würde ich verwenden $\mathrm dM=r\mathrm d\phi$ . Aber ich habe das Gefühl, dass es nicht so einfach sein sollte, wenn das Zentrum meiner Integration nicht das Zentrum des Kreises ist. Sollte ich es benutzen

\sqrt{R^{2} - 2 A R \cos ϕ + A^{2}} D ϕ ?

$\sqrt{r^2-2ar\cos\phi+a^2}\mathrm d\phi~?$ Bin ich hier völlig daneben?

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Floris · Answer 1

Ich denke, das folgende Diagramm sollte helfen:

Es ist völlig legal (und macht die Mathematik einfacher), den Mittelpunkt des Kreises als "Integrationszentrum" zu verwenden, solange Sie den richtigen Wert von verwenden $d$ für den Abstand zum Massenelement $dM$ .

Ihre Gleichung für das Potenzial sollte also verwendet werden $d=\sqrt{a^2+r^2-2ar\cos\phi}$ , und dann können Sie alles in Bezug auf den Winkel ausdrücken $\phi$ und die Gesamtmasse des Rings, $M$ :

\begin{aligned} Φ & = \int G \frac{D M}{D} \\ = \int G \frac{M D ϕ}{2 π A D} \\ = \int_{0}^{2 π} G \frac{M D ϕ}{2 π A \sqrt{A^{2} + R^{2} - 2 A R \cos ϕ}} \end{aligned}

$\begin{align}\Phi &= \int G\frac{dM}{d}\\ &= \int G\frac{M d\phi}{2\pi a ~d}\\ &= \int_0^{2\pi} G\frac{M d\phi}{2\pi a ~\sqrt{a^2+r^2-2ar\cos\phi}}\end{align}$

Ali Moh · Answer 2

$\mathrm dM$ ist nur $\rho \mathrm dV$ , Wo $\rho$ ist die Dichte und $\mathrm dV$ ist das Volumenelement. In deinem Fall also $\mathrm dM = \delta(r-R)\delta (\theta - \pi/2)\lambda r^2 \, \mathrm dr \, \mathrm d\theta \, \mathrm d\phi = \lambda R \, \mathrm d\phi$

Können Sie die Notation erklären $\delta(r-R)\Theta(\theta-\pi/2)$ ? Ist das nur eine funktionale Form von Dichte und Winkel? Warum nehmen sie die Argumente, die Sie ihnen geben?
Die $\Theta$ hätte ein sein sollen $\delta$ (bearbeitet). Es ist nur eine formale Art zu sagen, dass die Dichte überall Null ist, außer für $\theta = \pi/2$ Und $r=R$ , das ist der Ring..
Ah. $\delta$ ist eine Dirac-Funktion. Ich verstehe es. Um von der Mitte deiner zweiten Zeile nach rechts zu kommen, integrierst du einfach wrt $\theta$ Und $r$ ? Hält das noch mit $dM$ ist Teil des obigen Integrals? Wo sind sie $r$ Terme an anderer Stelle im Integral?
Ja, Sie ersetzen die $r$ Terme im Integral mit $R$ , also gibt es nur eine Integration über $\phi$

Ben S · Answer 3

Es kommt darauf an, ist der Ring unendlich dünn? Mit anderen Worten, geben sie dir $\lambda$ (Dichte pro Länge) oder $\rho$ (Dichte pro Volumen). Wenn sie geben $\lambda$ , Dann $dM=\lambda rd\phi$ . Das ist weil $rd\phi$ eine differentielle Länge ist, und multiplizieren sie mit $\lambda$ gibt Ihnen die differentielle Masse an diesem Punkt. Dann integriert man einfach ab $\phi = 0$ Zu $\phi = 2\pi$ .

Mehr Formel, Sie können tun, was Martin Ueding sonst gepostet hat, und über den gesamten Raum integrieren und Dirac-Delta-Funktionen in die Dichte aufnehmen, sodass Sie am Ende sowieso nur einen Beitrag ungleich Null aus der Integration über den Ring erhalten.

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mrmuszynski

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Ben S

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