Gravitationskraft, die von einem Stab auf einen Massenpunkt ausgeübt wird

Ich glaube nicht, dass du Integration wirklich verstehst. Lassen Sie mich das für Sie klären. In dieser Frage gibt es einen Stab der Länge l. Sie wissen, wie man die Gravitationskraft zwischen zwei Punktmassen berechnet, aber nicht in Körpern mit kontinuierlicher Masse.

Wenn Sie die Formel anwenden, um die Gravitationskraft zu finden, wissen Sie nicht, wie Sie die Entfernung nehmen sollen, da es sich um einen kontinuierlichen Körper handelt. Wenden wir die Formel an$F\ =\ \large \frac{Gm_1m_2}{r^2}$indem r als Abstand zwischen den beiden Körpern genommen wird. Offensichtlich erhalten wir eine falsche Antwort. Betrachten wir nun den Stab als aus zwei Massekörpern aufgebaut$m_2/2$eine Länge$l/2$. Jetzt können wir die Kraft definieren als$F\ =\ \large \frac{Gm_1m_2/2}{r^2} + \frac{Gm_1m_2/2}{(r+l/2)^2}$. Wieder bekommen wir eine falsche Antwort. Jetzt teilen wir es auf in$N$Teile. Jetzt kann die Kraft dargestellt werden als$F\ =\ \large \frac{Gm_1m_2/N}{r^2} + \frac{Gm_1m_2/N}{(r+l/N)^2} +\frac{Gm_1m_2/N}{(r+2l/N)^2}+...... \frac{Gm_1m_2/N}{(r+(N-1)l/N)^2}+\frac{Gm_1m_2/N}{(r+l)^2}$Oder$F\ =\ \large \frac{Gm_1m_2}{N}[\frac{1}{(r)^2} +\frac{1}{(r+l/N)^2} + \frac{1}{(r+2l/N)^2} + .....\frac{1}{(r+(N-1)l/N)^2}+\frac{1}{(r+l)^2}]$Wenn wir nun den Wert von erhöhen$N$Wir erhalten eine genauere Antwort, wenn die Unterteilungen kleiner werden und mehr wie Punktmassen werden. Nun, wenn wir den Wert von machen$N$sehr sehr hoch, dann würden wir eine genaue Antwort bekommen. Hier kommt die Differenzierungs-Anzeigen-Integration ins Spiel.$\large \frac{m_2}{N}$repräsentiert$dm$Und$\large \frac{l}{N}$repräsentiert$dx$. Jetzt weißt du warum$dm\ =\large \frac{m_2dx}{l}$

Wenden wir dies nun im obigen Ausdruck an. Also jetzt haben wir..$F\ =\ \large \frac{Gm_1m_2dx}{l}[\frac{1}{(r)^2} +\frac{1}{(r+dx)^2} + \frac{1}{(r+2dx)^2} + \frac{1}{(r+3dx)^2} + .....+\frac{1}{(r+l)^2}]$Das ist dasselbe wie integrieren$\ \large \frac{Gm_1m_2dx}{lx}$aus$x=r$Zu$x=r+l$
$Note:$Nicht jede dm-Masse ist gleich weit von der Punktmasse entfernt. Wir können integrieren$x$gegenüber$dx$als$dx$ist eine kleine Änderung in$x$. Sie addieren alle Werte und Sie addieren$dx$Zu$x$in jedem nächsten Wert. Hoffe das hilft