Geheimnisvolle Spektren?

In meinem Blogbeitrag Warum Riemannium? , führte ich die folgende Idee ein. Der unendliche Potentialtopf in der Quantenmechanik, der harmonische Oszillator und das Kepler-Problem (wasserstoffähnlich) haben jeweils gleiche Energiespektren

1)

E ∼ N 2
2)
E ∼ N
3)
E ∼ 1 N 2

Kennen Sie Quantensysteme mit allgemeinen Spektren/Eigenwerten gegeben durch

E ( N ; S ) ∼ N − S

und Energieaufspaltung

Δ E ( N , M ; S ) ∼ ( 1 N S − 1 M S )

für alle S ≠ − 2 , − 1 , 2 ?

Antworten (1)

Hier werden wir nicht das vollständige quantenmechanische Problem ansprechen, sondern nur den halbklassischen Grenzwert diskutieren N ≫ 1 , dh nur der hoch angeregte Teil des Energiespektrums weit weg von der Grundzustandsenergie.

Wenn wir uns in einer Dimension mit einem Potenzgesetz-Potenzial befinden

Φ ( X )   ∼   | X | P , P > − 2 ,

für | X | ausreichend groß, dann können wir die halbklassische Methode dieser Phys.SE-Antwort verwenden, um die klassisch zugängliche Länge als abzuschätzen

ℓ ( v )   ∼   v 1 P ,

Wo v ist die verfügbare potentielle Energie. Die Anzahl der Staaten N ( E ) unter dem Energieniveau E geht dann so

N ( E )   ∼   E 1 P + 1 2 ,

und daher gehorchen auch die halbklassischen diskreten Energien einem Potenzgesetz

E N   ∼   N 2 P P + 2 für N   ≫   1.

Die Werte P = − 1 , P = 2 , Und P = ∞ entsprechen dem (radialen) Wasserstoffatom, dem harmonischen Oszillator bzw. dem unendlichen Potentialtopf.

Der Vollständigkeit halber: Wenn die Macht P < − 2 , dann gibt es nur eine endliche Anzahl von gebundenen Zuständen, also funktioniert unsere halbklassische Analyse in diesem Fall nicht.
Das ist cool! Und ich frage mich, welche Art von vollständig quantenmechanischem (nicht halbklassischem) „Feld/System/Potenzial“ sie auch hervorbringen könnte. Ihre Antwort ist eine große Hilfe für Qmechanic. Ich interessiere mich auch sehr für physikalische und reale/tatsächliche Systeme mit diesem asymptotischen Spektrum ... Es ist aus vielen Gründen für meine derzeitigen "Gedanken" sehr interessant ...
Und noch eine Frage, was ist, wenn Ihr "p" komplex ist? Kann die 1D-Schrödinger-Gleichung für dieses Potential gelöst werden? ( T + v ) Ψ = E Ψ ? Dort ist T der übliche (freie) kinetische Energieoperator in QM und v ∼ | Φ | P mit P ∈ C
In der Standard-QM der Hamiltonoperator H sollte ein hermitescher Operator sein, und daher das Potenzial Φ (und deshalb P ) sollte echt sein. Sie könnten versuchen, sich mit PT-symmetrischem QM zu befassen.
Ich weiß das ...;) Aber ich frage mich, ob einige Leute, die mit nicht-hermitianischer QM (oder vielleicht mit einer Variante von CT / PT-QM) arbeiten, so etwas wie dieses Problem gelöst haben.
p=1 wird als Modell für Quarkonium verwendet. Siehe arxiv.org/abs/hep-ph/0608103
Achso das wusste ich nicht! Das ist großartig! Jemand anderes? Ich frage mich auch über das Spektrum der kosmischen Strahlung ... Wie skaliert die Anzahl der erkannten kosmischen Strahlen mit der Energie?
Geheimnisvolle Spektren?
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