Der VektorRich
ist zwischen den Perlenich
UndIch + 1
. Definieren Sie damit ein lokales KoordinatensystemX
ist dabeiRich
. Die Koordinatej
ist so definiert, dassRich - 1
,Rich
sind beide auf der gleichen Ebene, undz
ist normal für dieses Flugzeug. So können wir schreiben
Rich - 1RichRIch + 1= ( ℓ cosθ , − ℓ Sündeθ , 0)Tich= ( ℓ , 0 , 0)Tich= ( ℓ cosθ , − ℓ Sündeθ cosφIch + 1, ℓ Sündeθ SündeφIch + 1)Tich
Oder nachdem Sie die vollständige Koordinatentransformationsmatrix aus den obigen Informationen ausgearbeitet haben,
⎛⎝⎜Xjz⎞⎠⎟ich=Aich⎛⎝⎜X'j'z'⎞⎠⎟Ich + 1
Wo
Aich=⎛⎝⎜cosθ− Sündeθ cosφIch + 1Sündeθ SündeφIch + 1− Sündeθ− cosθ cosφIch + 1cosθ SündeφIch + 10− SündeφIch + 1− cosφIch + 1⎞⎠⎟
Jetzt
⟨R2⟩= ⟨ (∑ich = 1NRich) ⋅ (∑j = 1NRJ) ⟩ =∑ich = 1N∑j = 1N⟨Rich⋅RJ⟩=∑ich = 1N(∑j = 1ich - 1⟨Rich⋅RJ⟩ + ⟨ ∥Rich∥2⟩ +∑j = ich + 1N⟨Rich⋅RJ⟩ )= nℓ2+ 2∑ich = 1N∑j = ich + 1N⟨Rich⋅RJ⟩
Verwenden Sie die Übergangsmatrix und notieren Sie sich dasj > ich
,
⟨Rich⋅RJ⟩=ℓ2⟨ ( 1 , 0 , 0 )Aich⋯Aj − 1( 1 , 0 , 0)T⟩ =ℓ2⟨Aich⋯Aj − 1⟩11=ℓ2( ⟨A _⟩j - ich)11
Wo
A
eine der Matrizen ist
Aich
, zum Beispiel könnten wir setzen
A =A1
.
Daher
⟨R2⟩ = nℓ2+ 2ℓ2∑ich = 1N∑j = ich + 1N( ⟨A _⟩j - ich)11= nℓ2+ 2ℓ2(∑ich = 1N( n − ich ) ⟨ A⟩ich)11
Also in Richtung des charakteristischen Verhältnisses:
⟨R2⟩Nℓ2= 1 +2N( n ⟨ A ⟩ ( I− ⟨A _⟩N) ( ich− ⟨ EIN ⟩)− 1− ⟨ A ⟩ ( I− ( n + 1 ) ⟨ A⟩N+ n ⟨ A⟩n + 1) ( ich− ⟨ EIN ⟩)− 2)11=( ( Ich+ ⟨ A ⟩ ) ( I− ⟨ EIN ⟩)− 1−2 ⟨ EIN ⟩N( ich− ⟨A _⟩N) ( ich− ⟨ EIN ⟩)− 2)11
Die Korrelation zwischen zwei Kügelchen tendiert zu Null, wenn die Entfernung ins Unendliche geht, d. hlimn → ∞⟨A _⟩N= 0
, So
C∞=( ( Ich+ ⟨ A ⟩ ) ( I− ⟨ EIN ⟩)− 1)11
Wenn das Potential symmetrisch ist, weil der Sinus ungerade ist⟨ Sündeφ ⟩ = 0
, und wir haben
⟨ EIN ⟩ =⎛⎝⎜cosθ− Sündeθ ⟨ cosφ ⟩0− Sündeθ− cosθ ⟨ cosφ ⟩000− ⟨ cosφ ⟩⎞⎠⎟
Denken Sie daran, dass für eine 3x3-MatrixT
T− 1=1det ( T)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜det (T22T32T23T33)det (T23T33T21T31)det (T21T31T22T32)det (T13T33T12T32)det (T11T31T13T33)det (T12T32T11T31)det (T12T22T13T23)det (T13T23T11T21)det (T11T21T12T22)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
wir haben
C∞=( 1 + cosθ ) ( 1 + cosθ ⟨ cosφ ⟩ ) + Sündeθ Sündeθ ⟨ cosφ ⟩( 1 − cosθ ) ( 1 + cosθ ⟨ cosφ ⟩ ) − Sündeθ Sündeθ ⟨ cosφ ⟩
Was uns die endgültige Beziehung gibt
C∞=( 1 + cosθ ) ( 1 + ⟨ cosφ ⟩ )( 1 − cosθ ) ( 1 − ⟨ cosφ ⟩ )