Gelten die Formeln für kapazitive und induktive Impedanz immer?

Der Strom durch einen Kondensator ist gegeben durch ich C = C ⋅ D v C D T .

Nehmen wir an, die Spannung am Kondensator ist eine Kosinuswelle. v C = cos ⁡ ( ω T ) .

Aufgrund der komplexen Exponentialfunktion können wir dies schreiben als v C = ℜ ( e J ω T ) .

Lassen Sie uns den Strom berechnen

ich C = C ⋅ D D T ℜ ( e J ω T )
ich C = C ⋅ J ω ℜ ( e J ω T )
ich C = J ω C ⋅ v C

Die Impedanz ist definiert als Z C = v C ich C .

Womit wir endlich ankommen

Z C = ( ich C v C ) − 1 = v C ich C = 1 J ω C

Ähnliches kann für einen Induktor getan werden.

Meine Frage ist, gelten diese Formeln immer? Bei der Ableitung bin ich davon ausgegangen, dass die Spannung eine Sinuskurve (na ja, eine phasenverschobene Sinuskurve) ist, aber das ist nicht immer der Fall.

Was ist, wenn die Spannung am Kondensator eine Sägezahnfunktion oder vielleicht eine Dreieckswelle ist? Dann würde die obige Ableitung überhaupt nicht funktionieren.

Ich bin davon ausgegangen, dass die Spannung sinusförmig ist ... aber das ist nicht immer der Fall. Eine Sinuskurve ist die „Basis“ aller Wellenformen. Jede Wellenform, unabhängig von der Form, kann durch eine Summe mehrerer Sinuskurven (Fourier-Summe) konstruiert werden, für jede dieser Sinuskurven gilt das oben Gesagte und alle können summiert werden (Superposition).
@Bimpelrekkie Um pedantisch zu sein, eine Sinuskurve ist eine von unendlich vielen möglichen Basen aller Wellenformen.
Nur damit Sie sich später nicht wundern: bei echten Kondensatoren hält das nur ca. bis zu einer bestimmten Frequenz.
@Bimpelrekkie Sie könnten an der Walsh-Hadamard-Transformation interessiert sein. Oder Wavelets.

Antworten (4)

Die Differentialgleichungen, die verwenden D ich D T Und D v D T sind grundlegender. Sie kümmern sich nicht um Abstraktionen wie "Frequenz", "Sinuskurven" oder "vorgefertigte" Wellenformen, bei denen Sie in gewisser Weise wissen müssen, was in der Zukunft passieren wird. Als Ergebnis können Sie immer die Differentialgleichungen verwenden.

Die Impedanzgleichungen, die verwenden ω werden aus den Differentialgleichungen unter Verwendung von Sinuskurven als Eingaben abgeleitet. Wenn Sie sich dafür entscheiden, mit den Impedanzgleichungen anstelle der Differentialgleichungen zu arbeiten, müssen Sie den Eingang mithilfe der Fourier-Analyse in Komponentensinuskurven zerlegen, die Analyse für jede Sinuskurve durchführen und sie am Ende über Superposition wieder addieren. Vergessen Sie nicht, die Phasenverschiebungen zu berücksichtigen.

Das einzige Problem mit dI/dt, dV/dt besteht darin, dass es über die BW Ihres schnellsten DSO hinaus gemessen wird, während dazu Impedanz- oder Netzwerkanalysatoren benötigt werden.
@DKNguyen muss das Signal periodisch sein? Das denke ich, weil Sie eine nicht periodische Funktion nicht Fourier-transformieren können, oder?
@carl Kein echtes Signal ist wirklich periodisch, weil es beginnt und endet, anstatt immer existiert zu haben und unendlich in die Zukunft zu existieren. Sie können ein nicht periodisches Signal gut Fourieren, aber es wird unendliche Frequenzkomponenten haben, denn das ist erforderlich, damit es in der Vergangenheit perfekt nicht existiert und in der Zukunft perfekt aufhört. Aus diesem Grund erhalten Sie andere Frequenzen in den Spektren eines echten Sinuswellensignals, wenn Sie es von Anfang bis Ende Fourieren.

Meine Frage ist, gelten diese Formeln immer?

Abgesehen von den physikalischen Grenzfällen, in denen die Übertragungsleitungstheorie übernimmt, gelten die Formeln immer unabhängig von der Wellenform: -

ICH = C ⋅ D v D T
v = L ⋅ D ich D T

Wenn Sie sich auf die Übertragungstheorie beziehen, meinen Sie wahrscheinlich verteilte vs. konzentrierte Modelle.
Ich beziehe mich auf Komponenten, deren physikalische Größe es unmöglich macht, sie mit den Standardformeln zu behandeln, da die angewendete Frequenz eine signifikante Wellenlänge hat.

Die Impedanzformeln gelten immer (innerhalb der Spezifikationen), aber das Spektrum der Eingangssignale kann von sinusförmig variiert werden, sodass die Reaktion von der Übertragungsfunktion der Schaltung abhängt. S-Domain-Plots oder Smith-Charts oder Bode-Amplituden- und Phasenplots werden dies demonstrieren.

Meine Frage ist, gelten diese Formeln immer?

Die Antwort ist wirklich "ja" und "nein". Andere Antworten haben die Antwort "Ja" erklärt, aber sie hängen alle davon ab, dass ein Kondensator oder eine Induktivität "ideal" ist. Echte Kondensatoren und Induktivitäten haben "Streureaktanzen" und Widerstände. Aber selbst wenn wir diese ignorieren, haben echte Kondensatoren Dielektrika, die kein Vakuum sind (obwohl Luft nahe kommt). Echte Induktoren haben Kerne, die kein Vakuum sind (obwohl Luft wieder nahe kommt).

Die Bedeutung dieser Tatsachen ist folgende:

Die Reaktanz eines realen Kondensators weicht von der eines idealen Kondensators ab, und diese Abweichung hängt sowohl von der Frequenz als auch von der Amplitude ab. Die Permittivität jedes realen Nicht-Vakuum-Dielektrikums ist nicht linear (obwohl Luft nahe kommt).

In ähnlicher Weise weicht die Reaktanz eines realen Induktors von der eines idealen Induktors ab, und diese Abweichung hängt sowohl von der Frequenz als auch von der Amplitude ab. Die Permeabilität jedes realen Nicht-Vakuumkerns ist nicht linear (obwohl Luft nahe kommt).

Alles, was oben über die vom Ideal abweichenden Reaktanzen gesagt wurde, gilt auch für die Differentialgleichungen, die idealen Kondensatoren und Induktivitäten unterliegen. Reale Komponenten verhalten sich anders als die Differentialgleichungen für ideale Kondensatoren und Induktivitäten

ICH = − C v '

v = − L ICH '

selbst wenn Streuinduktivität, Kapazität und Widerstand berücksichtigt werden.

Entwurfsziele in praktischen Leistungsschaltkreisen umfassen im Allgemeinen das Minimieren von Volumen, Gewicht und Kosten. Leider stehen diese Ziele im Konflikt mit der Linearität von Komponenten. Induktivitäten mit Magnetkernen sind stark nichtlinear, werden aber in Stromkreisen verwendet, weil sie kleiner, leichter und billiger sind als ihre lineareren Gegenstücke. Ähnlich bei Kondensatoren. In praktischen Schaltungen, in denen diese Komponenten in der Nähe ihrer Spannungs- oder Stromgrenzen verwendet werden, kann ihre Reaktanz erheblich von den Werten abweichen, die mit kleinen Signalen erhalten werden. Stromversorgungsingenieure müssen im Allgemeinen die Nichtlinearität ihrer reaktiven Komponenten berücksichtigen.

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