Gibt es ein Muster hinter den Zahlen der Kreuztasten in der chromatischen Tonleiter?

Ja, es gibt ein Muster. Ausgangspunkt sind zunächst die beiden folgenden Tatsachen:

• Traditionell basierte die westliche Tonleiter auf einer 7-Noten-Tonleiter namens AG.
• Akustisch ist die grundlegendste Harmonie, abgesehen von Unisonos und Oktaven, die perfekte Quinte (P5), die sehr gut durch 7/12tel einer Oktave angenähert werden kann (wobei jedes 12tel einer Oktave als Halbton bezeichnet wird, H) .

Um das Auftreten von P5 zu maximieren, ist die Tonleiter so konstruiert, dass jede der sieben Noten in der Tonleiter eine P5 von einer anderen Note entfernt ist. Da Tonhöhen in der Oktave „umlaufen“, verwenden wir die sogenannte „modulare Arithmetik“ (denken Sie an das Addieren von Uhrzeiten, wobei 11:00 + 2 Stunden = 1:00), unten durch die Notation „mod12“ bezeichnet. Wenn wir bei F beginnen (das in Ihrem Nummerierungsschema zufällig 5 ist) und jedes Mal ein P5 (7 Halbtöne) hinzufügen, erhalten wir die folgende Tonfolge:

• F = 5
• C = F+P5 = 5+7 mod12 = 0
• G = C+P5 = 0+7 mod12 = 7
• D = G+P5 = 7+7 mod12 = 2
• A = D+P5 = 2+7 mod12 = 9
• E = A+P5 = 9+7 mod12 = 4
• B = E+P5 = 4+7 mod12 = 11

Dies gibt uns dann die Muster der nicht scharfen und nicht flachen Noten. Sie werden jedoch feststellen, dass von B zurück zu F ein Abstand von 6 und nicht 7 ist, was einem dissonanten Intervall namens Tritonus entspricht, anstelle von P5. Um dies anzusprechen, haben Sie zwei Möglichkeiten: Sie können entweder das B durch eine Note a P5 unter F ersetzen:

• B♭ = F-P5 = 5-7 mod12 = 10 = B-1

Oder Sie können das F durch eine Note a P5 über B ersetzen:

• F♯ = B+P5 = 11+7 mod12 = 6 = F+1

Beachten Sie, dass diese neuen Noten das Original ersetzen und entweder einen halben Schritt unter oder über der Note liegen, die sie ersetzen. Beachten Sie auch, dass dieses Muster dann unendlich fortgesetzt werden kann, indem Sie 7 (mod12) addieren oder subtrahieren, um die nächste Note in der Sequenz zu erhalten.

Update: Wenn Sie die obige Sequenz extrapolieren und verallgemeinern, werden Sie feststellen, dass jede Tonhöhe durch die Formel dargestellt werden kann:

(5 + n*7) mod 12

In dieser Formel sagt Ihnen der Wert von n zwei wichtige Dinge darüber, wie diese Tonhöhe benannt ist.

• Wenn Sie n durch 7 dividieren, sagt Ihnen der ganzzahlige Teil der Division (technisch gesehen der Boden), wie viele Kreuze (positiv) oder Bs (negativ) die Note hat. Wenn beispielsweise n im Bereich 0..6 liegt, ist floor(n/7) = 0 und Sie erhalten die oben aufgeführten einfachen Notennamen. Wenn n im Bereich 7..13 liegt (floor(n/7) = 1), erhalten Sie Namen mit einfachen Kreuzen. Im Bereich 14..20 (floor(n/7) = 2) erhalten Sie doppelte Kreuze. Im Bereich -7..-1 (floor(n/7) = -1) erhalten Sie Wohnungen.
• Der Rest der Division von n/7 ergibt eine Zahl von 0-6, die Ihnen den Buchstabennamen in der Reihenfolge (F, C, G, D, A, E, B) gibt.

Wie Sie in den Kommentaren darauf hinweisen, wird sich diese Sequenz schließlich wiederholen, da es sich um eine modulare Arithmetik handelt. Dies ist in der Tat wahr und spiegelt eine sehr wichtige Tatsache unseres Musiksystems wider: Keine Note hat einen einzigen eindeutigen Namen, sondern kann durch eine beliebige Anzahl verschiedener Namen ausgedrückt werden (Notennamen für Tonhöhen sind nicht eins zu eins Funktion). Beispielsweise sind alle folgenden Tonhöhennamen derselben Tonhöhenklasse zugeordnet:

• F = 5
• E♯ = (5 + 12*7) mod12 = 5
• D♯♯♯ = (5 + 24*7) mod12 = 5
• C♯♯♯♯♯ = (5 + 36*7) mod12 = 5
• G♭♭ = (5 - 12*7) mod12 = 5
• A♭♭♭♭ = (5 - 24*7) mod12 = 5

Wie Sie sehen können, können also alle Tonhöhen technisch als scharf oder flach beschrieben werden. Allerdings gibt es auch einen nicht scharfen und nicht b-Notennamen nur in dem Fall, in dem die Tonhöhennummer mit einem n ausgedrückt werden kann, so dass floor(n/7) == 0 (mit anderen Worten, n ist in der Bereich 0..6).

Eine etwas einfachere Antwort für uns Normalsterbliche. Schreiben Sie die Notennamen in einem Kreis herum, wie die Zahlen auf einem Zifferblatt, in der gleichen Reihenfolge wie zuvor. C kann überall hingehen - ich habe es auf 12 Uhr gesetzt. Beginnen Sie bei C (kein # oder b) und zählen Sie im Uhrzeigersinn 7. Sie gelangen zu G. 1#. Gehen Sie eine weitere 7, Sie gelangen zu D. 2 #. Usw. Jetzt zurück zu C, diesmal gegen den Uhrzeigersinn zählen 7. Sie erhalten F. 1b. Bei einer weiteren 7 erhalten Sie Bb. 2b. Offensichtlich (?) wird das Bb nicht A# heißen, weil wir uns jetzt in einem flachen Gebiet befinden. Wie Sie daraus eine Gleichung machen, bleibt Ihnen, dem Mathematiker, überlassen!

Hier ist eine "Formel", um die natürlichen und scharfen Noten zu finden, ausgedrückt als Python/numpy-Berechnungen (MATLAB würde genauso gut funktionieren). Es ist keine verfeinerte Berechnung, sondern nur eine einfache Möglichkeit, die Zahlen zu generieren und zu gruppieren (Mischen von Arrays, Mengen und sortierten Listen).

i = np.arange(5,200,7)  # numbers from 5 up, stepping by 7

natural = set((i%12)[:7])  # modulus by 12; 1st set of 7
# set([0, 2, 4, 5, 7, 9, 11])


next = set((i%12)[7:14])  # 2nd set
# set([0, 1, 3, 5, 6, 8, 10])

sharps = sorted(set(next-natural)   # remove the naturals
# [1, 3, 6, 8, 10]

Naturtöne sind der 1. Satz von 7, Kreuze sind der 2. Satz, abzüglich derjenigen, die wir bereits als Naturtöne identifiziert haben (0 und 5).

Wenn ich die Zählung mit beginne 0,

naturals: [0, 2, 4, 6, 7, 9, 11])
sharps: [1, 3, 5, 8, 10]

In der Tat F G A B C D Eund F# G# A# C# D#.

Ich kann also überall mit dem Zählen beginnen, aber die Position der halben Schritte in der natürlichen Tonleiter verschiebt sich.

https://en.wikipedia.org/wiki/Mode_(music)#Summary - beschreibt diese Verbindung zwischen Modi und dem Kreis.

Mit deiner Formel

 f(x) = (x - 5) * 7 mod 12. 
 If f(x) <= 6, the note is non-sharp. 
 Otherwise it's sharp. 
 x >= 0 and x <= 11.

In [79]: x=np.arange(0,12)
In [80]: fx=((x-5)*7)%12

In [81]: x[~(fx<7)]  # the sharps
Out[81]: array([ 1,  3,  6,  8, 10])

In [82]: x[fx<7]  # the naturals
Out[82]: array([ 0,  2,  4,  5,  7,  9, 11])

Die 7&12 erzeugen das kreisförmige Muster von TTSTTTS; die 5 verankert es im Ionischen (CMajor) Modus.

Die vorherigen Antworten sind gut, aber ich denke, es ist auch musikalisch bedeutsam, dass das, was Sie die "scharfen Tasten" nennen, zusammengenommen eine pentatonische Tonleiter bildet, da durch den Zyklus der Quinten scharfe hinzugefügt werden. Insbesondere C#, D#, F#, G# und A# bilden die F#-Dur-Pentatonik.