Gibt es eine Gleichung zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit von Flüssigkeitsmolekülen?

Die Schwierigkeit bei der Beantwortung Ihrer Frage besteht darin, was Sie mit der Geschwindigkeit der Teilchen in einer Flüssigkeit meinen.

In einem Gas ist die mittlere freie Weglänge im Vergleich zur Größe der Partikel lang, sodass die Bewegung der Partikel gut als einfache Translationsbewegung in einer geraden Linie mit gelegentlichen Richtungsänderungen aufgrund von Stößen beschrieben werden kann. Vergleichen Sie dies mit einem Körper. Wenn Sie mit Geschwindigkeit die Bewegung über eine Entfernung meinen, die im Vergleich zur Partikelgröße groß ist, dann ist die Geschwindigkeit der Partikel praktisch Null. Wenn Sie jedoch die Energie pro Teilchen berechnen, stellen Sie fest, dass dies tatsächlich der Fall ist$\tfrac{3}{2}kT$verbunden mit der Translationsbewegung jedes Teilchens. Die Partikel scheinen sich also zu bewegen ... nur sind sie es nicht.

Der Grund dafür ist, dass in einem Festkörper die Teilchen aufgrund ihrer Wechselwirkungen mit benachbarten Teilchen in einem Potentialtopf sitzen und um ihre mittlere Position oszillieren. Für isotrope Festkörper wie Metalle erhält man$\tfrac{3}{2}kT$verbunden mit der kinetischen Energie und einem anderen$\tfrac{3}{2}kT$mit der potentiellen Energie verbunden ist also die Gesamtenergie$3kT$pro Teilchen. Dies ergibt eine molare spezifische Wärme von etwa 25 J / mol, und tatsächlich haben viele Feststoffe Wärmekapazitäten von etwa diesem Wert.

Die durchschnittliche Teilchengeschwindigkeit in einem Festkörper ist also entweder die gleiche wie in einem Gas oder null, je nachdem, was Sie unter durchschnittlicher Geschwindigkeit verstehen.

In einer Flüssigkeit haben wir eine ähnliche Situation, aber mit einigen entscheidenden Unterschieden. Die Teilchen befinden sich aufgrund von Wechselwirkungen mit Nachbarn immer noch in einem Potentialtopf, aber jetzt kann es auch zu einer Bewegung über große Entfernungen kommen. Die Langstreckenbewegung ist jedoch viel, viel langsamer als die Teilchengeschwindigkeit. Insbesondere ist die Langstreckengeschwindigkeit ( lang bedeutet > 1 Partikeldurchmesser!) proportional zum Selbstdiffusionskoeffizienten.

Die durchschnittliche Partikelgeschwindigkeit in einer Flüssigkeit ist also entweder die gleiche wie in einem Gas oder proportional zum Selbstdiffusionskoeffizienten, je nachdem, was Sie unter durchschnittlicher Geschwindigkeit verstehen.

Der Selbstdiffusionskoeffizient ist gegeben durch:

$$D = g a^2 \nu \tag{1}$$

Wo$g$ist ein geometrischer Faktor,$a$ist der Abstand zwischen Teilchen in der Flüssigkeit und$\nu$ist die Anzahl der Male pro Sekunde, in denen ein Teilchen seinen Platz mit einem Nachbarn wechselt. Wir können (sehr grob) einen Wert für die Geschwindigkeit erhalten, weil if$nu$ist die Häufigkeit, mit der ein Partikel pro Sekunde die Plätze tauscht, und jeder Austausch erfordert eine Bewegung von etwa 1 Partikelabstand,$a$, dann ist die Geschwindigkeit ca$a\nu$. Umstellen (1) ergibt:

$$v = a\nu = \frac{D}{g a}$$

Als Beispiel sei der Selbstdiffusionskoeffizient von Wasser genannt$2.3 \times 10^{-9}$M$^2$/sec, und der Durchmesser eines Wassermoleküls ist ungefähr$3.1 \times 10^{-10}$m (das habe ich aus der molaren Dichte). Ich habe keine Ahnung, welchen Wert ich verwenden soll$g$, also lass uns verwenden$1$und akzeptieren Sie, dass Sie bestenfalls eine Größenordnungsschätzung der Geschwindigkeit erhalten. Das Eingeben dieser Werte ergibt einen Wert für$v$von etwa$10$m/Sek.

Nach dem Äquipartitionssatz funktioniert die gleiche Gleichung für jeden Aggregatzustand. Tatsächlich verwenden Molekulardynamiksimulationen dies als Definition, um die Temperatur zu berechnen und einen Thermostat auf ein System anzuwenden (einige Schlüsselwörter aus dem Kopf: Nose-Hoover, Andersen, Berendsen, Geschwindigkeitsneuskalierung). Darüber hinaus kann der Gleichverteilungssatz, soweit ich mich erinnere, auf sehr einfache Weise auf Nichtgleichgewichtssysteme verallgemeinert werden (aber das ist ein bisschen vom Thema ab).

Anders bei Flüssigkeiten ist dann natürlich, wie sich die Temperatur auf andere Zustandsgrößen, also die Zustandsgleichung, bezieht. Sie können die Van-der-Waals-Gleichung als Ausgangspunkt verwenden, um Systeme mit Wechselwirkungen zu quantifizieren. Für (viel) ausgefeiltere Theorien empfehle ich die Bücher Theory of Simple Liquids von Hansen und MacDonald oder Theory of Molecular Fluids von Gray, Gubbins und Joslin.

Wenn Sie nach der mittleren quadratischen Geschwindigkeit suchen, kann diese sehr hoch sein (im Vergleich zur Langstreckengeschwindigkeit). Wenn Wasser als Gas behandelt wird (was nicht der Fall ist), beträgt die Geschwindigkeit etwa 650 m/s http://www.madsci.org/posts/archives/2007-07/1184005380.Bc.r.html

Für die Berechnung der Größenordnung ist die Geschwindigkeit in flüssigem Wasser etwa 8-mal langsamer als in Gas. Die Geschwindigkeit wird also etwa 80 m/s