Gibt es eine Lösung außer partieller Integration für ∫∞0x2e−xsin(αx)dx∫0∞x2e−xsin⁡(αx)dx\int_0^\infty x^2 e^{-x} \sin(\alpha x) dx?

$$\int_{0}^{+\infty}x^2 e^{-(1-i\alpha)x}\,dx=\frac{1}{(1-i\alpha)^3}\int_{0}^{+\infty}x^2 e^{-x}\,dx =\frac{2}{(1-i\alpha)^3}=\frac{2}{(1+\alpha^2)^3}(1+i\alpha)^3$$ Dann können Sie einfach die Real- oder Imaginärteile beider Seiten berücksichtigen, um zu erhalten: $$\int_{0}^{+\infty}x^2 e^{-x}\cos(\alpha x)\,dx = \frac{2-6\alpha^2}{(1+\alpha^2)^3},\qquad \int_{0}^{+\infty}x^2 e^{-x}\sin(\alpha x)\,dx = \frac{6\alpha-2\alpha^3}{(1+\alpha^2)^3}.$$

Man könnte das folgende Integral betrachten:

$$f(\alpha)=\int_0^\infty e^{-x}\sin(\alpha x)~\mathrm dx$$

Dies kann mit der Euler-Formel gelöst werden:

$$\begin{align}f(\alpha)&=\Im\int_0^\infty e^{(i\alpha-1)x}~\mathrm dx\\&=\Im\left[\frac{e^{(i\alpha-1)x}}{i\alpha-1}\right]_0^\infty\\&=\Im\left[\frac1{1-i\alpha}\right]\end{align}$$

Ebenso aus der Integraldarstellung:

$$f''(\alpha)=-\int_0^\infty x^2e^{-x}\sin(\alpha x)~\mathrm dx$$

Und aus der geschlossenen Form:

$$f''(\alpha)=\Im\left[\frac{-2}{(i\alpha-1)^3}\right]=\Im\left[\frac{2(i\alpha+1)^3}{(\alpha^2+1)^3}\right]=\frac{2\alpha^3-6\alpha}{(\alpha^2+1)^3}$$

Ebenfalls,

$$\begin{align}g(\alpha)&=\int_0^\infty e^{-x}\cos(\alpha x)~\mathrm dx\\&=\Re\int_0^\infty e^{(i\alpha-1)x}~\mathrm dx\\&=\Re\left[\frac1{1-i\alpha}\right]\\\implies f''(\alpha)&=\Re\left[\frac{2(i\alpha+1)^3}{(\alpha^2+1)^3}\right]=\frac{2-6\alpha^2}{(\alpha^2+1)^3}\end{align}$$

$$f''(\alpha)=-\int_0^\infty x^2e^{-x}\cos(\alpha x)~\mathrm dx$$

Laplace-Transformation

$\mathcal{L}\{x^2\sin\alpha x\}(s)=-\dfrac{2 a \left(a^2-3 s^2\right)}{\left(a^2+s^2\right)^3}$

Ihr Integral ist

$\mathcal{L}\{x^2\sin\alpha x\}(1)=-\dfrac{2 a \left(a^2-3\right)}{\left(a^2+1\right)^3}$

Denn Kosinus ist

$\mathcal{L}\{x^2\cos\alpha x\}(1)=\dfrac{2 \left(1-3 a^2\right)}{\left(a^2+1\right)^3}$