Gibt es eine Möglichkeit zu vermeiden, dass sich Gödels Unvollständigkeit auf die Mathematik als Ganzes auswirkt?

Es ist eine natürliche Idee, aber leider lautet die Antwort nein, es ist nicht machbar. Die Wurzel der Unvollständigkeit sind nicht Zahlen, sondern die Möglichkeit der (impliziten) Selbstreferenz, Arithmetik ist nur die einfachste Struktur, die diese Möglichkeit bereits realisiert. Tatsächlich braucht man nicht einmal die Peano-Arithmetik, sondern eine viel schwächere Robinson-Arithmetiksogar ohne Induktion, damit der Beweis durchgeht. Am Ende kommt es nicht darauf an, ob die Theorie Zahlen oder Mengen oder etwas anderes hat, oder wie die Teile miteinander verbunden oder voneinander isoliert sind, sondern nur auf die Aussagekraft der Theorie. Solange es die minimale Ausdruckskraft der Arithmetik imitieren kann, stellt sich die Unvollständigkeit ein, ob wir Zahlen mit anderen Gegenständen verbinden oder ob wir überhaupt Zahlen haben, macht keinen Unterschied. Die Unvollständigkeit breitet sich nicht von Zahlen aus, sie ist allem inhärent, was Zahlen simulieren kann. Wenn die anderen Objekte nicht können, bleiben sie "gesund",

Damit kann man eigentlich erstaunlich weit kommen, das nennt man prädikative Mathematik . Wie Nominalisten wie Field gezeigt haben, ist sie zwar schwächer als die klassische Mathematik, aber zumindest für alle Zwecke der klassischen Physik ausreichend. In der prädikativen Mathematik wird die Unvollständigkeit im Wesentlichen auf die der Arithmetik reduziert. Wittgenstein war bereit, noch weiter zu gehen und Mathematik auf primitive rekursive Arithmetik zu reduzieren, die finitistisch ist, siehe War Wittgenstein Antizipation von Gödel?Aber wenn wir die Unvollständigkeit wirklich besiegen wollen, ohne die Mathematik zu trivialisieren, helfen strukturelle Manipulationen nicht weiter, wir müssen eine von Gödels anderen Prämissen aufgeben: entweder dass Mathematik rekursiv axiomatisierbar ist (Axiome sind als solche erkennbar), oder dass sie widerspruchsfrei ist ( oder beides). Auch hier war Wittgenstein bereit, Konsistenz aufzugeben und Widersprüche einzugrenzen, indem er das verwendete, was sich später zu nicht-klassischer ("dialetheischer") Logik entwickelte. Die Entwicklung dieser Ideen führte zu moderner inkonsistenter Mathematik, die vollständig inkonsistente Arithmetik produziert, die die Nichttrivialität ihrer konsistenten Teile beweisen kann, siehe Hat Gödels Argument, dass der Verstand mächtiger ist als Computer, die Inkonsistenzlücke? undIn welchem ​​Text/Papier wurde das Konzept des Diatheismus erstmals als ernsthafte Position eingeführt?

Es ist jedoch unwahrscheinlich, dass Prädikativismus, Finitismus oder Diatheismus zu Mainstream-Positionen unter Mathematikern werden. Sie werden als zu restriktiv und/oder künstlich angesehen, um die bestehende mathematische Praxis zu unterstützen, die weder Vollständigkeit noch Grundlagen benötigt.

Um Conifolds Antwort zu ergänzen, hier eine andere Sichtweise: Aussagen zur Zahlentheorie sind am Ende immer auch Aussagen in der Zahlentheorie. Nehmen Sie einen beliebigen zahlentheoretischen Satz und ersetzen Sie die Symbole durch Zahlen mit einer geeigneten Codierung, und Sie erhalten eine Gleichung.

Aus diesem Grund kann kein System, das reich genug ist, um die Arithmetik natürlicher Zahlen zu umfassen, die Selbstreferenz vermeiden. Und wie Conifold betont, macht die Selbstreferenz das Paradoxon im Herzen von Gödels Theorem unvermeidlich.

Gödels Unvollständigkeitssatz ist für jedes selbstreferenzielle System bewiesen, das Omega-konsistent ist. Es gab jedoch einige clevere Problemumgehungen. Insbesondere die Arbeit von Dan Willard untersuchte eine clevere Problemumgehung, wenn man nicht davon ausgeht, dass die Multiplikation eine Gesamtfunktion ist (dh es gibt Zahlen, die nicht miteinander multipliziert werden können). Er war in der Lage, solche Systeme zu entwickeln, mit denen er alle Wahrheiten der Arithmetik beweisen konnte, aber das System war etwas zu schwach, um das für Gödels Beweis wesentliche Diagonalisierungslemma zuzulassen. Solche Systeme konnten ihre eigene Konsistenz beweisen, konnten aber nicht das Lemma beweisen, das für den funktionierenden Beweis von Gödel erforderlich ist.

Ja, indem Sie der Logikistenschule beitreten. Der Gödel-Satz stellt keine Bedrohung für den Logizismus dar, da ein selbstreferenzieller Satz für Logikisten bedeutungslos ist.

Die Bedeutung von Gödel-Satz G kann nicht bestimmt werden, bis jeder der Bestandteile von G bestimmt ist; einer der Bestandteile von G ist G selbst, daher entsteht ein Teufelskreis. Für Formalisten ist Mathematik Tintenkleckse, die keine Bedeutung haben, daher stellt der Gödel-Satz ein gültiges Argument dar. Für Logiker ist Bedeutung grundlegend; Da der Gödel-Satz keine Bedeutung hat, hat der Gödel-Satz G keinen Einfluss auf den Logizismus.

Jeder Zweig der Mathematik, der eine praktische Anwendung hat, muss sich mit Bedeutungen befassen.

Die Zuordnung einer Zahl zu einer Größe wird Messung genannt; Messung ist nicht grundlegend für die Mathematik.