Gibt es topologische nicht-triviale Zustände in der Null-Dimension?

Das Periodensystem der topologischen Isolatoren und Supraleiter legt nahe, dass es in einem nicht wechselwirkenden System mit bestimmten Symmetrien topologische nicht triviale Phasen in der Nulldimension geben kann. Ein 0D-System kann als ein einzelnes Atom, ein Quantenpunkt oder ein beliebiges System mit diskreten Energieniveaus (keine Bänder, keine Brillouin-Zone) betrachtet werden.

Gibt es physikalische 0D-Systeme, die zumindest theoretisch topologisch nicht trivial sind? Wie definiert man in diesem Fall die topologische Invariante und was ist ihre physikalische Bedeutung?

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Aufgrund der Bott-Periodizität Dimension d = 0 hat die gleiche Symmetrieklassifizierung wie d = 8 .

Ein 0D-System kann als einzelnes Atom betrachtet werden. Es kann eine Zeitumkehr-/Teilchen-Loch-Symmetrie haben und daher topologisch nicht trivial sein. In einem solchen System gibt es per Definition weder Positions- noch Impulsabhängigkeit, und daher ist es schwierig, nichttriviale Eigenschaften mit dem Transport zu verbinden.
Beispielsweise kann ein Quantenpunkt als 0D betrachtet werden, sodass Sie die Klassifizierung anwenden können. Aber die physikalische Interpretation der Invarianten ist meistens wirklich offensichtlich: zum Beispiel für Klasse A (dh IQHE in 2D) die 0D Z ist nur die U ( 1 ) Ladung des Systems. Ich denke das gleiche für die Klasse AII (dh TI in zwei und drei Dimensionen). Für die Klasse D, die Z 2 ist die Fermionenparität. Ich weiß nicht sofort, die Interpretation von Z Invariante für BDI-Klasse.
@MengCheng Es ist klar, dass 0D-Systeme physikalisch sind (einzelne Atome, Quantenpunkte) und dass diese Systeme verschiedene Kombinationen von antiunitären Symmetrien aufweisen können (Teilchenloch, Zeitumkehr, chiral, wie in der Tabelle). Aber die Frage ist, gibt es bekannte physikalische Realisierungen (zumindest theoretisch) von topologischen nicht-trivialen Zuständen in 0D-Systemen? Irgendeine Referenz vielleicht?
@FraSchelle Ich stimme zu, dass 0D-Systeme keine Kantenzustände haben können, gerade weil sie keine Kanten haben. Es ist jedoch prinzipiell möglich, eine topologische Invariante zu definieren.
@sintetico Da Sie zustimmen, dass Quantenpunkte physikalische 0D-Systeme sind, können wir einfach die Klasse A betrachten (was bedeutet, dass es nur U (1), keine andere anti-einheitliche Symmetrie gibt) und eine unterschiedliche Anzahl von Elektronen hineingeben.
@MengCheng Es kann andere anti-einheitliche Symmetrien in einem Quantenpunkt geben. Beispielsweise unterbricht ein Quantenpunkt in einem magnetischen Zeeman-Feld die Zeitumkehr, ohne Magnetfeld jedoch nicht.
Sicher, Sie können immer Symmetrien hinzufügen. Alles, was ich gesagt habe, ist, dass es gerade bei U(1) nichttriviale topologische 0D-Zustände gibt.
Seien Sie hier vorsichtig bei der Anwendung der Bott-Periodizität. Topologische Systeme wie dieses haben im Allgemeinen Zeitentwicklungsoperatoren, NLSM-Fermionen usw., die auf einer von der Anzahl der Standorte abhängigen Mannigfaltigkeit liegen, und die Bott-Periodizität funktioniert, weil die Dimension dieser Mannigfaltigkeit in der thermodynamischen Grenze einer unendlichen Zahl ins Unendliche geht von Websites. Ein 0D-System hat wahrscheinlich nur einen Standort. Wenn Ihr Modell also nicht viel auf diesen Punkt drückt, ist die Bott-Periodizität nicht anwendbar.
Außerdem liegt die Bott-Periodizität in der Dimension der Sphäre, die in den Zielraum abgebildet wird („die Dimension der Homotopiegruppe“, in einem gewissen, aber nicht ungewöhnlichen Sprachmissbrauch), nicht in der Dimension des physikalischen Systems.
@calavicci, in dem Sinne, in dem die Bott-Periodizität gilt, ist die Anzahl der Energieniveaus des Systems unendlich. Dies ist weniger die thermodynamische Grenze als vielmehr die Annäherung, die es jedem Standort ermöglicht, immer mehr interne Freiheitsgrade zu haben. Ich verstehe nicht, warum ein Quantenpunkt nicht beliebig viele innere Freiheitsgrade haben könnte.
Es ist klar, dass wir über die Dimension des Hamiltonoperators und nicht des physikalischen Systems sprechen. Nulldimensionen bedeutet, dass das Energiespektrum diskret ist, nicht dass die geometrischen Dimensionen der physikalischen Systeme Null sind (ein Punkt im Raum).
@sintetico, das ist falsch. Die Dimension im Periodensystem von Kitaev bezieht sich auf die physische Raumdimension. Ich weiß nicht einmal, worauf Sie sich mit "Dimensionen des Hamilton-Operators" beziehen würden (vielleicht die Größe der Matrix?).
Die Größe des Hamilton-Operators hat natürlich nichts mit den Abmessungen zu tun. Aber die Dimension im Periodensystem bezieht sich nicht ausschließlich auf die physische Raumdimension. Stellen Sie sich einen Hamilton-Operator eines eindimensionalen Systems vor, der als Funktion einer kontinuierlichen und periodischen Variablen parametrisiert ist θ . Dieser Hamiltonian H ( k , θ ) ist eindeutig zweidimensional. Nehmen Sie zum Beispiel den 4D-Quanten-Hall-Effekt, der in zwei räumlichen Dimensionen plus zwei "synthetischen" Dimensionen definiert ist.

Antworten (1)

Es scheint eine physikalische Realisierung eines Quantenpunkts zu geben, der sich in zwei isolierenden Phasen befinden kann. Etwas willkürlich können wir eine Phase gewöhnlich und die andere topologisch nennen. Der eigentliche Punkt ist, dass man eine Phase nicht in die andere verformen kann, ohne die Lücke zu schließen. Meine Lektüre der folgenden Artikel (ich bin kein Physiker) sagt mir, dass man in der Praxis eine supraleitende Phase zwischen den beiden Phasen des Quantenpunkts sieht.

Szombati, DB, et al. „Josephson ϕ0-Übergang in Nanodraht-Quantenpunkten“ Nature Physics 12.6 (2016): 568.

Marra, Pasquale, Roberta Citro und Alessandro Braggio. "Signaturen topologischer Phasenübergänge in Josephson-Stromphasendiskontinuitäten." Physical Review B 93.22 (2016): 220507.

Der Grund, warum ich sage, dass es etwas willkürlich ist, wie man einer der Phasen das Etikett topologisch zuweist, ist, dass es Kuriositäten bei der Definition von gibt K 2 Gruppe von C ∗ -Algebren. Diese gehen auf die willkürliche Wahl zurück, die man bei der Definition des Pfaffschen einer schiefsymmetrischen Matrix trifft.

Hier gibt es keine Grenze. Was man sieht, ist das gleiche Grundphänomen wie wenn man einen Chern-Isolator in einen gewöhnlichen Isolator umwandelt. Man bekommt so etwas wie metallisches Verhalten in der Masse.

Also meine Antwort ist: ja.

Vielen Dank für Ihre sehr nützliche Antwort! Können Sie etwas genauer erklären, warum die Wahl auf mathematischer Ebene willkürlich ist? Nach dem, was ich aus den obigen Artikeln verstehen kann, ist der Unterschied zwischen topologischer und nicht-topologischer Phase durch die Tatsache gerechtfertigt, dass die Pfaffsche Definition kontinuierlich vom 0D- auf den 1D-Fall (das Kitaev-Modell) erweitert werden kann.
Ich verweise auf die Papiere, die ich in meiner Antwort aufgeführt habe. Ich hatte sie eine Weile nicht gelesen. Wenn die Grenze des 1D-Falls uns sagt, welche Phase topologisch ist, großartig. Ich dachte an Kitaevs Aufsatz „Periodic table for topological isolators and supraconductors“. Seine Definition des trivialen 0D-Isolators in Klasse D erscheint mir etwas willkürlich. Im Gegensatz dazu ist dies in höheren Dimensionen der Fall. Dort identifizieren wir im Allgemeinen die trivialen Isolatoren mit Lücken auf einem System mit periodischen Randbedingungen als diejenigen, die Lücken bleiben, wenn der Hamilton-Operator modifiziert wird, um offene Randbedingungen einzuführen.
In Bezug auf die Mathematik besteht ein Problem darin, dass es schwierig ist, den Pfaffian vom Negativ des Pfaffian zu unterscheiden. Für die Determinante freuen wir uns, dass die Identitätsmatrix eine positive Determinante hat. Für den Pfaffian betrachten wir nur schiefsymmetrische Matrizen. Warum wird [0 1; -1 0] einen positiven Pfaffian erhalten, während [0 -1; 1 0] ist negativ? Weder ist wirklich eine einfachere Matrix.
Gibt es topologische nicht-triviale Zustände in der Null-Dimension?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v