Gilt Poppers Falsifikationstheorie für die Mathematik?

Es ist umgekehrt. Fälschung ist nur eine statistische Form des Beweises durch Widerspruch. Beim Widerspruchsbeweis gehen Sie zunächst davon aus, dass eine Prämisse p wahr ist. Dann zeigen Sie, dass eine solche Annahme zu einer Konklusion q führt, die sich bereits als falsch erwiesen hat. Solange wir davon ausgehen, dass unser Axiomatiksystem logisch konsistent ist, impliziert dieses Ergebnis, dass p falsch ist: p -> q und ~q implizieren zusammen ~p.

Beim Falsifizieren/Testen von Hypothesen beginnen wir mit einer Theorie T und machen dann eine Beobachtung O. Aus T können wir bestimmen, wie wahrscheinlich O ist. Wenn die Wahrscheinlichkeit von O bei T gering ist, dann können wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit von T bei O gering ist. Wenn die Wahrscheinlichkeit von O bei gegebenem T natürlich 0 ist, dann haben wir am Ende eine absolute Falsifikation, die genau dasselbe wäre wie ein Beweis durch Widerspruch.

Natürlich haben wir bei der Falsifikation selten Absolutheiten, und noch schlimmer, wir testen nicht wirklich eine einzelne Theorie, sondern verwenden eine ganze Theorie, um zu unserer Schlussfolgerung zu kommen. Dieses Ergebnis macht es etwas chaotischer, und ich bespreche dieses Problem hier ausführlicher .

Nach der Rekonstruktion der Grundlagen der Mathematik im 20. Jahrhundert, dh der Beseitigung der berühmten Paradoxien (wie Russells Paradox ), basiert die moderne Mathematik auf dem Glauben, dass keine anderen Paradoxien wieder auftauchen werden. Trotz zahlreicher Bemühungen gelang es den Logikern nicht, die Konsistenz der Axiomensysteme moderner Mengenlehren zu beweisen (und gleichzeitig keine neuen Paradoxien zu finden). Das bedeutet, dass es theoretisch möglich ist, dass jemand in Zukunft ein neues Paradoxon findet, und dies hat zur Folge, dass sich einige mathematische Ergebnisse (möglicherweise der größte Teil davon) als falsch herausstellen. Dies kann als Beweis für die Falsifizierbarkeit der Mathematik gewertet werden.

Gilt natürlich nicht. Es gilt nur für die Naturwissenschaften. Und selbst dort gilt es nicht überall. Streng genommen gilt es nur dort, wo man Experimente in einer kontrollierten Umgebung durchführen, also Hypothesen testen kann.

Dies schließt meiner Meinung nach zum Beispiel die Evolutionstheorie aus. Während diese Theorie die Entwicklung des Lebens hervorragend erklärt, kann sie keine Vorhersagen treffen. Daher gibt es nichts zu testen und gehört daher nicht zu Poppers Domäne.

Obwohl Mathematik oft als „Die Sprache der Wissenschaft“ bezeichnet wird, ist sie nicht dasselbe wie Wissenschaft (oder genauer gesagt Naturwissenschaft).

Mathematik ist eine spezifische Anwendung von Philosophie und Logik auf das Konzept der Quantität. Während in der Wissenschaft diese Quantität von "Zeug" , was auch immer das Zeug ist, hervorstechend ist, sind die Techniken der Mathematik notwendig, um vollständiger zu verstehen, was die Quantitäten sind, wie sie zusammenhängen können, und um darüber zu spekulieren, wie einige Quantitäten zusammenhängen können Andere. indem Vorhersagen darüber gemacht werden, wie sich bestimmte physikalische oder natürliche Größen verhalten werden, Experimente entwickelt, Beobachtungen gemacht und diese Vorhersagen gestützt oder falsifiziert werden. Wissenschaftliche Theorien können daraus entwickelt und gestützt werden.

aber es gibt kein solches Gegenstück in der reinen Mathematik. manchmal werden Vermutungen aufgestellt (wie das Postulat von Bertrand oder der letzte Satz von Fermat ), aber sie sind nur Vermutungen, bis sie durch Ableitung bewiesen werden , nicht durch Beobachtung , wie es in der Wissenschaft gemacht wird.

nun diese beiden Vermutungen, nun bewiesene mathematische Tatsachen werden in Zukunft niemals widerlegt werden. das ist auch anders als Falsifizierbarkeit in der Wissenschaft. Die Allgemeine Relativitätstheorie scheint zu dieser Zeit die unwiderlegte Wahrheit zu sein, aber zu einer anderen Zeit war dies auch die Newtonsche Mechanik und Gravitation , aber jetzt verstehen wir, dass dies eine sehr enge Annäherung an die Wahrheit für langsame Relativgeschwindigkeiten und nicht für extrem intensive Gravitationsfelder ist. nichts in der Wissenschaft hat also den Status, nie und nimmer falsifiziert zu werden.

aber in der Mathematik wird ein richtig bewiesenes Theorem niemals widerlegt, wenn dieselben Axiome wie das Theorem gegeben werden.

es ist anders. Mathematik und Naturwissenschaften sind nicht dasselbe. Mathematik ist, obwohl sie ein herausragendes Werkzeug in der Wissenschaft ist, keine Wissenschaft . Die Poppersche Falsifizierbarkeit gilt für die Wissenschaft . es ist eine Abgrenzung dessen, was Wissenschaft ist und was nicht. Nicht alle Wissenschaftler stimmen dieser Abgrenzung zu, aber ich schon.

Das Konzept der Falsifizierbarkeit trifft absolut auf die Mathematik zu (zumindest in grob metaphorischer Weise und vielleicht noch viel mehr). Ich bin kein großer Popper-Experte, aber seit ich es gehört habe, denke ich, dass es möglicherweise relevanter / anwendbarer auf Mathematik ist als fast jede andere Wissenschaft / jedes andere Gebiet im folgenden Sinne.

Mathematik funktioniert durch das Voranschreiten von Hypothesen, Tests und Überprüfungen. Darin unterscheidet es sich nicht von anderen Wissenschaftsbereichen und verkörpert in vielerlei Hinsicht alle anderen in reinerer Form. Die Hypothese wird typischerweise als "Vermutung" bezeichnet. Es gibt viele offene Vermutungen, einige ziemlich berühmt und sehr alt. (z. B. gibt es Probleme mit der griechischen Zahlentheorie, die über 2 Jahrtausende alt sind), aber ein einzelnes Gegenbeispiel ist eine Verfälschung einer Vermutung. Beachten Sie, dass man keine komplexen Experimente durchführen muss, um eine falsifizierbare Behauptung zu widerlegen oder zu replizieren. Es ist alles abstrakt, zerebral/mental .

Allerdings gibt es auch in der Mathematik heutzutage sogar eine experimentelle/empirische Falsifizierbarkeit , die immer weiter verbreitet/bedeutend eingesetzt wird: Computer werden verwendet, um Vermutungen zu untersuchen und "nicht zu große" Gegenbeispiele zu finden.

Beachten Sie jedoch, dass es einige Fälle gibt, in denen die Falsifizierbarkeit in der Mathematik versagt. Unentscheidbare Probleme haben keine algorithmischen Antworten (z. B. Hilberts 10. Problem , Unentscheidbarkeit beim Finden von Lösungen für diophantische Polynome). (Tatsächlich ist es auffallend, wie viele Parallelen es in der Theorie der Falsifizierbarkeit zur Unentscheidbarkeit gibt.)

Manche Sätze sind unbeweisbar. Einige Probleme sind extrem schwierig und können niemals gelöst werden (z. B. die Riemann-Vermutung öffnet 1,5 Jahrhunderte selbst nach intensiver Fokussierung) usw. Auch die Frage der Reproduzierbarkeit der Falsifizierbarkeit erhebt ihr Haupt mit computergestützten Beweisen, z. B. dem berühmten 4-Farben Satz. Kann man ihnen vertrauen?

Es ist verlockend zu behaupten, dass alle wohlgeformten mathematischen Vermutungen falsifizierbar sind und Hilbert schon früh eine solche Überzeugung hatte und darüber schrieb und die Idee einige seiner eigenen Vermutungen motivierte, aber natürlich bewies Gödel eindrucksvoll das Gegenteil.

Ein weiteres Problem, das auftritt, sind "Beweise, die sich später als falsch erwiesen haben" (Mathoverflow). Menschliche Fehlbarkeit und Falsifizierbarkeit hängen also zusammen. Auf jeden Fall könnte man sagen, dass Mathematiker rigoroser und engagierter in Bezug auf Falsifizierbarkeit sind als alle anderen "Wissenschaftler".

Die Mathematik ist nach Popper ein Zweig der Metaphysik, siehe „Realismus und das Ziel der Wissenschaft“ Teil I Kapitel III. Popper beurteilt die Metaphysik gegenüber der Wissenschaft nicht negativ. Manche Leute wollen diese Schlussfolgerung ziehen, weil sie alles, was als Wissenschaft bezeichnet wird, unkritisch als Ersatz für ihre eigenen Urteile bewundern.

Für ein paar andere Perspektiven auf Mathematik, die weitgehend mit Poppers Epistemologie übereinstimmen, siehe „The Fabric of Reality“ von David Deutsch, Kapitel 10 und „Proofs and Refutations“ von Lakatos. Als Randbemerkung empfehle ich kein anderes Material, das von Lakatos geschrieben wurde, der eine Menge Material geschrieben hat, in dem Popper Positionen zugeschrieben werden, die er nie befürwortet hat.

Als Folge einiger der anderen Antworten hier ist anzumerken, dass es wahrscheinlich von Ihrer Vorstellung davon abhängt, was Mathematik ist, ob Sie Mathematik für falsifizierbar halten.

Aus formalistischer Sicht manipulieren Mathematiker nur Zeichenketten nach Regeln. Somit kann die Mathematik selbst nicht falsifiziert werden, obwohl es immer Fehler geben kann, die korrigiert werden müssen. Aus dieser Sicht ergibt sich nur dann eine falsifizierbare Aussage, wenn den Saiten eine Interpretation gegeben wird.

Aus empiristischer Sicht geht die Frage, ob Mathematik falsifizierbar ist, Hand in Hand mit der Frage, ob Logik empirisch ist. Dies ist eine Frage, über die viel geschrieben wurde. Bekanntlich vertrat Quine die Ansicht, dass unser gesamtes Wissen, einschließlich der Logik, ganzheitlicher Natur und nur als Ganzes falsifizierbar ist, nicht auf Satz-für-Satz-Basis. Folglich sind auch logische oder mathematische Aussagen im Lichte zukünftiger Erkenntnisse überprüfbar – sie haben keinen besonderen a priori-Status – sie sind nur relativ gut vor Überarbeitung geschützt, weil sie eine wichtige und zentrale Rolle bei der Organisation unseres Glaubensnetzes spielen. Außerdem schrieb Putnam eine einflussreiche Abhandlung mit dem Titel „Is Logic Empirical?“. in dem er vorschlug, dass wir unsere Logik vielleicht im Lichte der Quantenmechanik revidieren sollten.

Aus logizistischer Sicht ist Mathematik auf Logik reduzierbar, sodass eine mathematische Aussage nur in dem Sinne falsifizierbar ist, dass möglicherweise gezeigt werden kann, dass sie eine logische Inkonsistenz beinhaltet.

Für einen Intuitionisten ist ein mathematischer Satz etwas, das aus der Intuition des Mathematikers konstruiert wurde. Man könnte daher vernünftigerweise annehmen, dass Mathematik genauso falsifizierbar ist, wie die Intuition eines Mathematikers falsifizierbar ist.

Was den mathematischen Platonismus betrifft: Ich bin mir nicht sicher, ob ich ihn wirklich verstehe, aber ich nehme an, dass Platoniker die Mathematik als falsifizierbar ansehen würden, nur nicht empirisch.

Ich werde weiterhin meine winzige Minderheitsposition vertreten, dass Mathematik ein Zweig der Psychologie ist.

Mathematik ist immer noch Wissenschaft. Es ist die Wissenschaft, die versucht, die Denkprozesse und Formen der Idealisierung zu identifizieren, die Menschen teilen, die unseren Einfluss auf das Denken und die Wissenschaft verbessern.

Mathematische Disziplinen leiden nicht unter Konflikten mit den Tatsachen, aber sie geraten eindeutig in die Bedeutungslosigkeit, wenn die Tatsachen, auf die sie sich beziehen, keine Rolle spielen. Was falsch ist, wenn Mathematik „falsifiziert“ und irrelevant wird, ist die Vorstellung, dass eine bestimmte Frage für die Welt insgesamt interessant ist oder von Nutzen ist, weil sie eine wichtige Erkenntnis erfasst.

Da Sätze in der Mathematik diejenigen Formeln sind, die bewiesen sind und jede bewiesene Formel wahr ist (Vollständigkeit der Logik 1. Grades), kann die Falsifizierbarkeit nicht auf Sätze in der Mathematik angewendet werden.