Gleichung für x-Achsen-3D-Paraboloid

Question

Gleichung für x-Achsen-3D-Paraboloid

Mathematik
Kegelschnitte

Daniel

Ich habe mit vielen Varianten von Paraboloidgleichungen herumgespielt. Ich konnte jedoch keine Gleichung für ein zur X-Achse paralleles 3D-Paraboloid der Rotation finden.

Für eine 2D-Parabel gilt die Gleichung

(j - j_{P})^{2} = 4 P (X - X_{P})

$(y-y_p)^2 = 4p(x-x_p)$ stammt ursprünglich von

| X + P | = \sqrt{(X - P)^{2} + j^{2}}

$\vert x+p\vert = \sqrt{(x-p)^2+y^2}$ und erweitert um

x_{p}

$x_p$ Und

y_{p}

$y_p$ die die Scheitelpunktkoordinaten und beschreiben

p

$p$ für die Öffnung der Parabel.

Ist dieses Prinzip erweiterbar auf 3D-Paraboloide, wie zB Anfang

| X + P | = \sqrt{(X - P)^{2} + j^{2} + z^{2}}

$\vert x+p \vert = \sqrt{(x-p)^2 + y^2 + z^2}$

Basierend auf der aktuellen Antwort würde ich die Gleichung, die zu führt, weiter umformulieren

(X + P)^{2} = (X - P)^{2} + j^{2} + z^{2}

$(x+p)^2 = (x-p)^2 + y^2 + z^2$ .

Was, wenn es erweitert wird, zu Folgendem führt:

X^{2} + 2 P X + P^{2} = X^{2} - 2 P X + P^{2} + j^{2} + z^{2}

$x^2 + 2px + p^2 = x^2 - 2px + p^2 +y^2 + z^2$

und weiter vereinfacht zu:

4 P X = j^{2} + z^{2}

$4px = y^2 + z^2$

Erweitern wir diese Gleichung nun um die Knotenkoordinaten, erhalten wir:

4 P (X - X_{P}) = (j - j_{P})^{2} + (z - z_{P})^{2}

$4p(x-x_p) = (y-y_p)^2 + (z-z_p)^2$

Vielen Dank im Voraus für eventuelle Hinweise

Antworten (1)

Gleichung für x-Achsen-3D-Paraboloid

John Wayland Bales · Answer 1

John Wayland Bales

Ich würde damit beginnen, die Gleichung eines 3D-Paraboloids mit der Mittelachse zu finden $x$ -axis dann übersetzen, um es zu bekommen

(j - j_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = 4 P (X - X_{0})

$(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=4p(x-x_0)$

Daniel

Danke für Ihre Antwort! Ich habe meinen ersten Beitrag bearbeitet und die Gleichung abgeleitet. Ist der Weg, den ich genommen habe, um Ihre bereitgestellte Gleichung zu übersetzen, korrekt?

John Wayland Bales

Ihre Verwendung von

p

$p$ ist verwirrend. Du schreibst

(x - p)

$(x-p)$ wo du vorhast

(x - x_{p})

$(x-x_p)$ und Sie sollten wirklich verwenden

x_{0}, y_{0}, z_{0}

$x_0,y_0,z_0$ statt

x_{p}, y_{p}, z_{p}

$x_p,y_p,z_p$ da die Übersetzungen in keiner Weise vom parabolischen Parameter abhängen

p

$p$ .

John Wayland Bales

Der entscheidende Punkt ist, dass die senkrecht zur Achse genommenen Querschnitte des nicht verschobenen Paraboloids Kreise mit einem gewissen Radius sind

r

$r$ und Erfüllung der Gleichung

r^{2} = 4 p x

$r^2=4px$ Wo

r^{2} = y^{2} + z^{2}

$r^2=y^2+z^2$ .

Gleichung für x-Achsen-3D-Paraboloid

Daniel

Antworten (1)

John Wayland Bales

Daniel

John Wayland Bales

John Wayland Bales

Welche Werte ergeben die minimale Fläche der Ellipse?

Von einem Punkt auf einem gegebenen Kreis werden Tangenten an die Ellipse gezogen. Es muss der Ort des Kontaktakkords gefunden werden.

Eigenschaft von Ellipsen mit Normalen an den Endpunkten einer Fokussehne und dem Mittelpunkt dieser Sehne

Was ist der Ort des Mittelpunkts von AB?

Wie finde ich die Gleichung einer Parabel, wenn die Tangentengleichungen an zwei Punkte gegeben sind?

Ellipsen mit Fokus und zwei Punkten

Zeigen Sie, dass die Asymptoten einer Hyperbel ihre Tangenten an Unendlichkeitspunkten sind

Finden Sie den kürzesten Abstand zwischen dem Punkt und einer Parabel

Finden Sie Schnittpunkte zwischen einer parametrisierten Parabel und einer Linie

Fünf Punkte liegen alle auf dem Kegelschnitt