Wie finde ich die Gleichung einer Parabel, wenn die Tangentengleichungen an zwei Punkte gegeben sind?

Ich versuche, die Gleichung einer Parabel mit den beiden Tangentengleichungen an zwei Punkte zu finden.

Ich habe diesen Beitrag gefunden ( Finden Sie die Gleichung der Parabel, wenn die Tangente an einen Punkt und einen anderen Punkt gegeben ist. ), aber er hat mir nicht wirklich geholfen, also habe ich versucht, die Berechnung selbst durchzuführen.

Erste:

  • Ich habe zwei Punkte, deren Koordinaten ich kenne,
  • Ich habe zwei Geraden, die durch diese Punkte verlaufen, deren Steigung ich aufgrund ihrer Neigungswinkel kenne.

Nehmen wir an, diese Linien sind Tangenten an eine Parabel in diesen beiden Punkten.

Wie kann ich die Gleichung dieser Parabel finden, wenn die beiden Tangentengleichungen und die beiden Punkte gegeben sind?

Hier ein Bild meiner Berechnung:

Ein Bild meiner Berechnungen

Nach dem Bild, das ich gezeichnet habe, erhalte ich vermutlich die folgende Gleichung:

F ( X ) = bräunen ⁡ ( a ) − bräunen ⁡ ( β ) 2 ⋅ X 1 ⋅ X 2 + bräunen ⁡ ( β ) ⋅ X + j 2

Wenn ich plotte F ( X ) = bräunen ⁡ ( 60 ) − bräunen ⁡ ( 30 ) − 2 ⋅ 10 ⋅ X 2 + bräunen ⁡ ( 30 ) ⋅ X + 10 Ich bekomme folgende Grafik:

Plotbild 1

Wie Sie sehen, bekomme ich die Grafik im ersten Bild nicht gezeichnet, und wenn ich das Fenster auf setze X ∈ [ X 1 , 0 ] Und j ∈ [ 0 , j 2 ] Ich bekomme ein leeres Fenster:

Plotbild 2

Was mache ich falsch ?

Ich hoffe, meine Erklärungen sind gut genug. Bitte sagen Sie mir, wenn ich mich nicht klar ausgedrückt habe, damit ich meinen Beitrag für Sie und andere ändern kann.

Suchen Sie eine Parabel in der Form j = A X 2 + B X + C ?
Ja, aber ich habe mich gefragt, ob es die richtige Form ist oder nicht ... was denkst du, sollte ich verwenden?
Für beliebige Punkt-Tangens-Paare funktioniert diese Form der Gleichung nicht.
@amd Ja, in der Tat habe ich darum gebeten, wir haben zu viele Bedingungen!
In Ordnung, danke, ich bin im Moment nicht zu Hause, aber sobald ich zurück bin, werde ich es mit einer kubischen Funktion versuchen.
@DOugM "Bits" ist kein gutes Wort, da es auch ein Achtel eines Bytes bedeuten kann. Und es gibt sechs Informationen, x1, y1, m1, x2, y2, m2.
@Accumulation Die Verwendung von "Byte", wenn Sie wirklich "Oktett" meinen, ist auch nicht großartig.

Antworten (4)

Ihre Lösung ist richtig, vorausgesetzt, dass die Achse dieser Parabel parallel zu ist j -Achse. Für beliebige Punkt-Tangenten-Paare ist dies jedoch nicht der Fall. Insbesondere mit X 1 = − 10 , a = 60 ° , j 2 = 10 , β = 30 ° , die Achse der Parabel ist um 45 ° von der geneigt j -Achse, kann also nicht durch eine Gleichung der Form dargestellt werden j = A X 2 + B X + C .

Sie müssen mit einer allgemeineren Gleichung einer Parabel beginnen, z ( A X + B j ) 2 + D X + E j + F = 0 . Ein anderer Ansatz besteht darin, eine quadratische Bézier-Parametrisierung zu verwenden, für die Sie genügend Informationen haben, und den Parameter zu eliminieren, um eine implizite kartesische Gleichung für die Parabel zu erhalten.

Wenn Sie die letztere Methode in Ihrem Beispiel verwenden, ist der dritte Kontrollpunkt der Schnittpunkt der beiden Tangentenlinien, die Sie finden können ( − 15 + 5 3 , 15 − 5 3 ) , die die Parametrisierung erzeugt

X = − 10 ( 1 − T ) 2 + 10 ( 3 − 3 ) ( 1 − T ) T j = − 10 ( 3 − 3 ) ( 1 − T ) T + 10 T 2 .
Eliminieren T ergibt die Gleichung
X 2 + 2 X j + j 2 − 20 ( 2 + 3 ) X + 20 ( 2 + 3 ) j − 500 − 200 3 = 0.

Ein Polynom durch den Punkt ( X 1 , j 1 ) mit Gefälle M , Und ( X 2 , j 2 ) mit Gefälle N .

F ( X ) = j 1 + M ( X − X 1 ) + ( X − X 1 ) 2 ( X 2 − X 1 ) 2 ( j 2 − j 1 ) + ( X − X 1 ) 2 ( X − X 2 ) ( X 1 − X 2 ) 2 ( N − M )

Ihre Randbedingungen sind mehr als genug, das ist genau der kubische Spline:

P ( X ) = X − B A − B F ( A ) + X − A B − A F ( B ) + ( X − A ) ( X − B ) { X − B ( A − B ) 2 [ F ' ( A ) − F ( A ) − F ( B ) A − B ] + X − A ( B − A ) 2 [ F ' ( B ) − F ( B ) − F ( A ) B − A ] }

Es sei denn F ' ( A ) + F ' ( B ) 2 = F ( B ) − F ( A ) B − A was eine aufrechte Parabel ergibt.

Die allgemeine Gleichung für eine Parabel lautet

A X 2 + B j 2 + C X j + D X + e j + F = 0 , A B − C 2 = 0

Bis zum 4 gegebene Bedingung, Einstellung zum Beispiel F = 1 Wir sollten die Lösung finden.

Du meinst entweder 4 A B − C 2 = 0 , oder sonst A X 2 + B j 2 + 2 C X j + ⋯ = 0 .
Wie finde ich die Gleichung einer Parabel, wenn die Tangentengleichungen an zwei Punkte gegeben sind?
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