Gravitationskollaps und Freifallzeit (kugelförmig, drucklos)

Bei einer kugelsymmetrischen Massenverteilung die von einem Testteilchen gefühlte Beschleunigung am Radius$r$Ist$-G M /r^2$(negativ, weil zur Mitte zeigend), unabhängig von der radialen Massenverteilung. Dies ist ein wichtiger Teil der Frage, stellen Sie sicher, dass Sie sich damit wohl fühlen. Es ist ein Konzept, das mit dem Gesetz des Elektromagnetismus von Gauß verwandt ist , falls Sie darauf gestoßen sind.

Die Gesamtmasse der kollabierenden Wolke ergibt sich aus der anfänglichen einheitlichen Dichte mal dem Volumen oder$M = (4 \pi /3) r_0^3 \rho_0$

Aus dem zweiten Newtonschen Gesetz ergibt sich dann die Bewegungsgleichung für ein Testteilchen am Rand der Wolke

$$\frac{d^2r}{dt^2} = - \frac{4 \pi G r_0^3 \rho_0}{3r^2}$$

Nun zu einigen Kettenregel-Tricks (dies ist ein netter Trick, also ist es gut, sich ihn für ähnliche Differentialgleichungen zu merken):

$$\frac{d}{dt} = \frac{dr}{dt} \frac{d}{dr}$$

Das im Hinterkopf behalten$v \equiv \frac{dr}{dt}$, und unter Verwendung der gerade erwähnten Kettenregelsubstitution ist die Bewegungsgleichung jetzt

$$v \frac{dv}{dr} = - \frac{4 \pi G r_0^3 \rho_0}{3r^2}$$

Der Sinn all dessen ist, dass die Differentialgleichung nun klarer trennbar ist. Sie können es lösen, indem Sie wie folgt integrieren

$$\int v \, dv = - \frac{4 \pi G r_0^3 \rho_0}{3}\int\frac{dr}{r^2}$$

$$\frac{1}{2} v^2 = \frac{4 \pi G r_0^3 \rho_0}{3r} + C$$

(Sie hätten auch an diesen Punkt gelangen können, indem Sie die potenzielle Energie der Gravitation mit der kinetischen Energie in Beziehung gesetzt und darauf geachtet haben, wo Sie den Nullpunkt des Gravitationspotenzials setzen).

Wenn$r = r_0$,$v = 0$, So$C = - \frac{4 \pi G r_0^2 \rho_0}{3}$Und

$$\frac{1}{2} v^2 = \frac{4 \pi G r_0^2 \rho_0}{3}\left(\frac{r_0}{r} - 1 \right)$$

$$|v| = \sqrt{\frac{8 \pi G r_0^2 \rho_0}{3}\left(\frac{r_0}{r} - 1 \right)}$$

Die Gesamtzeit kann durch Integrieren ermittelt werden

$$t_{\rm collapse} = \int dt = \int \frac{dr}{|v|} = \sqrt{\frac{3}{8 \pi G r_0^2 \rho_0}}\int_0^{r_0}{\frac{dr}{\sqrt{\left(\frac{r_0}{r} - 1 \right)}}}$$

Das wird ein kniffliges Integral, also lassen Sie es uns nicht-dimensionalisieren. Nehmen Sie eine Variablenänderung vor$u \equiv r/r_0$. Dann haben wir

$$t_{\rm collapse} = \sqrt{\frac{3}{8 \pi G \rho_0}}\int_0^{1}{\frac{du}{\sqrt{\frac{1}{u} - 1}}}$$

Wenn Sie sich wirklich gut mit trigonometrischen Substitutionen in Integralen auskennen, haben Sie hier die Chance zu glänzen. Verwenden Sie andernfalls einfach Wolfram Alpha oder etwas Ähnliches, um Ihnen mitzuteilen, dass das Integral ausgewertet wird$\pi/2$. Das gibt schließlich

$$t_{\rm collapse} = \sqrt{\frac{3 \pi}{32 G \rho_0}}$$

Nur eine Teilantwort.

Bei einem kugelförmigen Kollaps und unter Vernachlässigung relativistischer Effekte ist die Zeit dieselbe wie die Zeit, die ein Teilchen am Rand der Wolke benötigt, um in die Mitte zu fallen.

Da sich die gesamte Masse innerhalb der Kante befindet, können wir die Masse, die diese Kante nach innen zieht, als das Volumen der Radiuskugel bestimmen

$$r_0$$ mal die Dichte.

Das heißt, die Schlüsselidee ist, dass die Wolke nicht wichtig ist, nur die Gesamtmasse.

Das fallende Teilchen verhält sich also so, als würde es auf eine Punktmasse fallen.

Aber das ist nur eine besondere Art von Umlaufbahn, sehr ellipsenförmig. Die Periode der Umlaufbahn:

http://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_period#Small_body_orbiting_a_central_body

hängt von der dritten Potenz des Radius ab.

$$t = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}$$

Wie Wikipedia zeigt, bedeutet dies eigentlich, dass die Periode unabhängig vom Radius ist:

$$t = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho_0}}$$

http://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_period#Orbital_period_as_a_function_of_central_body.27s_density

Die Einfallzeit beträgt nur eine viertel Umlaufbahn. Die Gesamtzeit sollte also sein:

$$t = \sqrt{\frac{3\pi}{16G\rho_0}}$$

Mir fehlt also ein Faktor

$$\sqrt{\frac{1}{2}}$$ hier - daher die "Teilantwort".

Was habe ich verpasst?

Für dieses Problem gibt es eine bekannte Lösung, die wie folgt lautet: Gravitationsbedingt wird die äußere Schicht der Wolke vom Rest so beeinflusst, wie der Rest zu einer Punktmasse komprimiert wurde. Daher haben wir die Keplersche Bewegung: Der Fall eines Teils der äußeren Schicht besteht in einer Halbperiode einer ultraelliptischen Umlaufbahn; Ein Fokus befindet sich im Zentrum der Wolke (nach Keplers 1. Gesetz) und der andere bei$r_0$, Die Periode der Umlaufbahn wird durch die längere Halbachse der Ellipse bestimmt (nach Keplers 3. Gesetz). Die längere Halbachse ist$\frac{r_0}{2}$. und wir interessieren uns für eine halbe Periode. Somit ist die Antwort gleich der Halbperiode einer Kreisbahn mit Radius$\frac{r_0}{2}$.

$$(\frac{2\pi}{2T})^2~\frac{r_0}{2}=\frac{Gm}{(\frac{r_0}{2})^2}$$ Somit $$T=\pi\sqrt\frac{r_0^3}{8Gm}$$ Oder, $$T_{collapse}=\sqrt\frac{3\pi}{32G{{\rho}_0}}$$ ,unabhängig von$r_0$.