Greensche Funktion für die Klein-Gordon-Gleichung divergierend?

Ich versuche, den Propagator für die freie Skalarfeldtheorie (dh die Greensche Funktion für die Klein-Gordon-Gleichung) auszuarbeiten. Auf den Seiten 23 und 24 von Zee's Quantum Field Theory in a Nutshell (Sie können die exakt gleiche Herleitung auch auf Seite 5 dieses Artikels finden ) drückt er dies in Form eines Integrals über 4-Impuls aus wie folgt:

D ( X ) = ∫ D 4 k ( 2 π ) 4 e ich k X k 2 − M 2 + ich ϵ

bei dem die + ich ϵ entspricht in der linken Halbebene unter der Stange und in der rechten Halbebene über die Stange. So weit, ist es gut. Dann macht er ein Konturintegral über die Energiekomponente des Viererimpulses, um Folgendes zu erhalten:

D ( X ) = − ich ∫ D 3 k ( 2 π ) 3 2 ω k [ e − ich ( ω k X 0 − k → ⋅ X → ) θ ( X 0 ) + e ich ( ω k X 0 − k → ⋅ X → ) θ ( − X 0 ) ]
Wo ω k = k → 2 + M 2 Und θ ist die Heaviside-Schrittfunktion. Auch hier kann ich nichts Falsches finden. Aber wenn ich versuche, das Integral über drei Impulse zu berechnen, entweder in Mathematica oder von Hand, divergiert es fürchterlich. Ich habe versucht, dies unter einer Reihe von Bedingungen zu tun ( X 0 = 0 Und X → ≠ 0 , X 0 > 0 Und X → = 0 , etc.) und egal was ich bekomme ein Integral über | k | das konvergiert nicht. Was mache ich hier falsch?

Als Beispiel: Angenommen X 0 = 0 Und X → ≠ 0 . Dann verwandelt sich unser Integral in

− ich ∫ D 3 k ( 2 π ) 3 2 ω k cos ⁡ ( k → ⋅ X → ) .
Schreibt man dies in ein sphärisches Koordinatensystem, erhält man (da es keine gibt ϕ -Abhängigkeit)
− ich ∫ 0 ∞ D R ∫ 0 π D θ R 2 Sünde ⁡ θ 8 π 2 R 2 + M 2 cos ⁡ ( R | X | cos ⁡ θ ) .
Sie können das Integral wiederholen θ ziemlich leicht zu bekommen
− ich 4 π 2 | X | ∫ 0 ∞ D R R Sünde ⁡ ( R | X | ) R 2 + M 2 ,
was divergiert. Es scheint ziemlich schlecht, dass eine Störung eine unendliche Amplitude haben sollte , um sich sofort woanders auszubreiten, also ist hier offensichtlich etwas sehr schief gelaufen.

Kennen Sie Renormalisierung?
Nein noch nicht. Aber ich hatte den Eindruck, dass wir die Renormierung verwenden, um mit interagierenden Feldern umzugehen, nicht so einfach. Irre ich mich?
Ich glaube nicht, dass man hier wirklich eine Renormierung einbringen muss. Das Integral ist so divergent wie ∫ − ∞ ∞ e ich k X = δ ( k ) . Der übliche Trick besteht darin, einen kleinen Dämpfungsfaktor einzustellen e − η | X | , η > 0 in den Integranden, der die Divergenz abschneidet und am Ende die Grenze nimmt η → . In gewisser Weise ist dies der Renormalisierung sehr ähnlich, wenn auch in einem viel einfacheren Kontext.
Ihre erste Gleichung ist die Fourier-Darstellung des Feynman-Propagators. Diese Verteilung wird in vielen Texten zur Quantenfeldtheorie bewertet. Das Ergebnis (mit Referenzen) ist in diesem Wikipedia-Eintrag angegeben und besteht aus einer Delta-Funktion, die auf dem Lichtkegel ( X 2 = 0 ) plus Bessel- und Hankel-Funktionen. Eine Renormierung des Propagators ist in der freien Theorie nicht erforderlich.
Ihr endgültiges Integral ist endlich und durch die modifizierte Bessel-Funktion gegeben K 1 wie in Daniels Antwort dargestellt. Einstellung X 0 = 0 führt Sie außerhalb des Lichtkegels, also X 2 = − X 2 < 0 . Ihr Integral wird dann ( − ich M / 4 π 2 | X | ) K 1 ( M | X | ) , das ist genau das Wikipedia-Ergebnis, wenn X 0 = 0 .
Ich glaube dir, aber das letzte Integral (das über R ) weicht ab. Wo habe ich einen Fehler gemacht, um dorthin zu gelangen?

Antworten (2)

Sie haben den Grund gefunden, warum die meisten 4D-QFTs eine Renormierung benötigen : Der Propagator ist (UV) divergent!

Um die Theorie zu "heilen", müssen Sie die Theorie regularisieren (die Divergenzen in einem einfachen Parameter wie einem Impuls-Cutoff ausdrückbar machen) - zB durch dimensionale Regularisierung - und dann mit einem Renormalisierungsschema fortfahren. Dass die Theorie nicht interagiert, bedeutet, dass es nur endlich viele divergierende Dinge gibt – den Propagator selbst – im Gegensatz zu den unendlich vielen divergenten Diagrammen, die in einer Wechselwirkungstheorie in Ordnungen der Störungstheorie organisiert werden müssten, aber wie Sie sehen , schließt dies die Notwendigkeit einer Renormierung als solcher nicht aus.

Gut, danke! Ich hatte Angst, etwas Wichtiges zu verpassen. Wenn es nicht zu viel Mühe macht, haben Sie Empfehlungen für eine Einführungsquelle, die diese Probleme nicht unter den Teppich kehrt?

Laut diesem Vorlesungsskript (Seite 18 im pdf) und einigen anderen, die ich gefunden habe, kann das Integral tatsächlich ausgewertet werden und liefert die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art, der Ordnung 1 (siehe Wikipedia ) .

Das Integral scheint nicht zu konvergieren, aber ich bin mir nicht sicher, ob man sagen kann, dass es divergiert, weil es oszilliert (mit zunehmender Amplitude). Die Art und Weise, wie Physiker diese Integrale „lösen“, besteht darin, zur komplexen Ebene zu gehen, wo sie konvergieren, und dann die Grenze zu nehmen, wenn sich das Integral der realen Linie nähert. Das faule Bit ist, dass das Integral nicht mit dem Grenzwert pendelt, aber die Rechtfertigung dafür ist, dass es funktioniert.

Eine andere Möglichkeit wäre, zu notieren

K 0 ( X M ) = ∫ 0 ∞ D R cos ⁡ ( X R ) M 2 + R 2
Das ist eine weitere Bessel-Funktion (ich hoffe, wir sind uns einig, dass sie konvergiert). Dann

M K 1 ( X M ) = − M ∂ X K 0 ( X M ) = − ∫ 0 ∞ D R R Sünde ⁡ ( X R ) M 2 + R 2 .

Die erste Gleichheit ist eine Definition (glaube ich), die zweite ist wie versprochen etwas faul (vielleicht kann ein Mathematiker etwas dazu sagen?).

Für groß X , diese zerfällt als e − M X (siehe die Vorlesungsunterlagen, auf die ich verwiesen habe), was etwas beruhigend ist. Aber (wieder um Tongs Notizen zu paraphrasieren) ist das Besorgniserregende, dass es überhaupt nicht Null ist, weil das Intervall, wie Sie sagten, raumartig ist ("sofort" ist bezugsrahmenabhängig und daher keine physikalische Eigenschaft - sollte es auch nicht aber erlaubt sein).

Die Auflösung des Rätsels besteht darin, dass die eigentliche physikalische Anforderung darin besteht, dass Operatoren, die an Punkten bewertet werden, die durch raumähnliche Punkte getrennt sind, pendeln müssen, sodass Messungen an den beiden Punkten nicht voneinander abhängen können. Aber zum Glück kann man das sogar aus Ihrem Ausdruck oben sehen, denn R nur die Größe der raumartigen Trennung ist, ist der Kommutator immer Null (probieren Sie es explizit aus, wenn Sie möchten).

Greensche Funktion für die Klein-Gordon-Gleichung divergierend?
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