Greensche Funktion für die inhomogene Klein-Gordon-Gleichung

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Greensche Funktion für die inhomogene Klein-Gordon-Gleichung

Physik
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Greens-Funktionen
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung

Arthur Suworow

Ich versuche, die massive Klein-Gordon-Gleichung in der guten alten Minkowski-Raumzeit zu lösen:

(◻ + m^{2}) ϕ = ρ (t, x)

$(\square + m^2) \phi = \rho(t,\mathbf{x})$ wo

◻ = \partial_{μ} \partial^{μ} = \partial_{t}^{2} - \nabla^{2}

$\square = \partial_{\mu} \partial^{\mu} = \partial_{t}^2 - \nabla^2$ . Man kann also einen Greenschen Funktionsansatz verwenden, um die fundamentale Lösung der Form zu finden

(◻ + m^{2}) G_{m} = δ (x^{μ} - x^{' μ})

$(\square + m^2) \mathscr{G}_{m} = \delta(x^{\mu} - x'^{\mu})$ wo

G_{m}

$\mathscr{G}_{m}$ ist der bekannte Klein-Gordon-Vermehrer. Man erhält dann die Lösung

ϕ

$\phi$ im Ortsraum, gegeben als bekannte Lösung

ϕ (x^{μ}) = \int d^{4} x^{'} G_{m} (x^{μ}, x^{' μ}) ρ (t^{'}, x^{'}) (⋆)

$\phi(x^{\mu}) = \int d^{4} x' \mathscr{G}_{m}(x^{\mu},x'^{\mu}) \rho(t',\mathbf{x}') \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (\star)$ Ich war damit vollkommen zufrieden, bis ich eine tatsächliche Umsetzung durchführen musste

ρ

$\rho$ und führe die Integrale aus. Meine bisher beste Wahl war die Verwendung der Bessel-Funktionsdarstellung, die ich gefunden habe (hier: http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselJ/31/02/ ) (von der ich angenommen habe, dass sie eine Verallgemeinerung hat). die Form:

G_{m} (t, t^{'}, x, x^{'}) = \frac{θ (t - t^{'})}{2 π} δ ((t - t^{'})^{2} - | x - x^{'} |^{2}) - \frac{m}{2 π} θ (t - t^{'} - | x - x^{'} |) \frac{J_{1} (m \sqrt{(t - t^{'})^{2} - | x - x^{'} |^{2})}}{m \sqrt{(t - t^{'})^{2} - | x - x^{'} |^{2})}}

$\mathscr{G}_{m}(t,t',\mathbf{x},\mathbf{x}') = \frac {\theta(t-t')} {2 \pi} \delta\Big( (t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x'}|^2 \Big) - \frac {m} {2 \pi} \theta(t-t' - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|) \frac {J_{1}(m \sqrt{(t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2)}} {m\sqrt{(t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2)}}$ Obwohl dies eine schöne Darstellung in geschlossener Form ist, habe ich immer noch echte Schwierigkeiten, das Integral zu bewerten

(⋆)

$(\star)$ . Ich habe lange an verschiedenen Stellen nach expliziten Beispielen für die Berechnung des Integrals gesucht und bin bisher auf sehr wenig gestoßen. Mathematica (mein bevorzugtes Rechenprogramm) verachtet diese Heaviside-Funktionen in den Integralen wirklich und bietet wenig Anleitung. Der einzige Fall, den ich bisher tun kann, ist

m \mapsto 0

$m \mapsto 0$ .

Frage: Mit der Darstellung von $\mathscr{G}_{m}$ gegeben (oder eine andere schönere), wie kann man eigentlich rechnen $(\star)$ ? Hat jemand eine Referenz, wo irgendein explizites Beispiel berechnet wird, wo $\rho$ geht über ein einfaches hinaus $\delta$ -Funktion? Sogar so etwas wie $\rho = \rho(r,\theta)$ oder $\rho = \rho(r)$ wäre eine große Hilfe.

Vielen Dank!

JamalS

Bitte poste das konkrete

ρ (x, t)

$\rho(x,t)$ , müssen Sie von Fall zu Fall behandeln.

Arthur Suworow

Ich suche hier nach einer generischen Strategie, was wohl Wunschdenken ist. Die damit verbundenen Besonderheiten

ρ

$\rho$ sind nicht so wichtig (da ich viele Fälle habe, würde ich eventuell versuchen, damit herumzuspielen). Ich möchte wissen, ob die Darstellung, die ich dort habe, gut für Berechnungen ist und wie man damit umgehen würde. Idealerweise hatte ich gehofft, dass jemand eine Referenz kennt, in der einige explizite Beispiele berechnet werden. Sogar so etwas wie

ρ = a r^{2} + b r + c

$\rho = a r^2 + b r + c$ wäre hilfreich, da ich mir das ansehen und hoffen kann, zu verallgemeinern. So wie es aussieht, weiß ich wirklich nicht, wie ich es angehen soll.

Neuneck

Wenn die Heaviside-Funktionen das Problem sind, können Sie versuchen, das Problem ohne sie zu lösen und eine Fallunterscheidung von Hand zu implementieren? Die Heavisides scheinen nur Kausalität zu implementieren ...

Arthur Suworow

Danke, @Neuneck, das ist auf jeden Fall einen Versuch wert. In Bezug auf die Integrationen habe ich jedoch Schwierigkeiten, sie überhaupt zu bewerten

\int d^{4} x^{'} \frac{J_{1} (m \sqrt{(t - t^{'})^{2} - | x - x^{'} |^{2}}}{m \sqrt{(t - t^{'})^{2} - | x - x^{'} |^{2}}}

$\int d^{4} x' \frac {J_{1}(m \sqrt{(t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2}} {m \sqrt{(t-t')^{2} - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2}}$ (das ist wenn

ρ

$\rho$ ist konstant). Ich habe diese ( fh-jena.de/~rsh/Forschung/Stoer/besint.pdf ) Tabelle mit Integralen von Bessel-Funktionen gefunden, aber diese erscheint dort nicht. Gibt es überhaupt einen Grund anzunehmen, dass das Integral in elementarer Form existiert? Ich vermute nicht.

Ein Angebot kann man nicht ablehnen

Haben Sie eine Referenz, wie die Funktion des Grüns abgeleitet wird? Ich meine die Formel von Wolfram

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Greensche Funktion für die inhomogene Klein-Gordon-Gleichung

Bitte poste das konkrete $\rho(x,t)$ , müssen Sie von Fall zu Fall behandeln.
Ich suche hier nach einer generischen Strategie, was wohl Wunschdenken ist. Die damit verbundenen Besonderheiten $\rho$ sind nicht so wichtig (da ich viele Fälle habe, würde ich eventuell versuchen, damit herumzuspielen). Ich möchte wissen, ob die Darstellung, die ich dort habe, gut für Berechnungen ist und wie man damit umgehen würde. Idealerweise hatte ich gehofft, dass jemand eine Referenz kennt, in der einige explizite Beispiele berechnet werden. Sogar so etwas wie $\rho = a r^2 + b r + c$ wäre hilfreich, da ich mir das ansehen und hoffen kann, zu verallgemeinern. So wie es aussieht, weiß ich wirklich nicht, wie ich es angehen soll.
Wenn die Heaviside-Funktionen das Problem sind, können Sie versuchen, das Problem ohne sie zu lösen und eine Fallunterscheidung von Hand zu implementieren? Die Heavisides scheinen nur Kausalität zu implementieren ...
Danke, @Neuneck, das ist auf jeden Fall einen Versuch wert. In Bezug auf die Integrationen habe ich jedoch Schwierigkeiten, sie überhaupt zu bewerten $\int d^{4} x^{'} \frac{J_{1} (m \sqrt{(t - t^{'})^{2} - | x - x^{'} |^{2}}}{m \sqrt{(t - t^{'})^{2} - | x - x^{'} |^{2}}}$ $\int d^{4} x' \frac {J_{1}(m \sqrt{(t-t')^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2}} {m \sqrt{(t-t')^{2} - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|^2}}$ (das ist wenn $\rho$ ist konstant). Ich habe diese ( fh-jena.de/~rsh/Forschung/Stoer/besint.pdf ) Tabelle mit Integralen von Bessel-Funktionen gefunden, aber diese erscheint dort nicht. Gibt es überhaupt einen Grund anzunehmen, dass das Integral in elementarer Form existiert? Ich vermute nicht.
Haben Sie eine Referenz, wie die Funktion des Grüns abgeleitet wird? Ich meine die Formel von Wolfram

Tom Heinzl · Answer 1

Ich bin mir bewusst, dass dies eine alte Frage ist und als etwas veraltet angesehen werden kann, aber lassen Sie mich sie trotzdem beantworten - wenn auch nur der Vollständigkeit halber.

Die Positionsraumdarstellung der Klein-Gordon-Green-Funktion (Propagator) sieht eindeutig einschüchternd aus. Der Trick besteht darin, die Berechnung im Impulsraum durchzuführen, wo der Propagator nur eine rationale Funktion ist. Bevor ich dies tatsächlich tue, möchte ich darauf hinweisen, dass im masselosen Fall $m = 0$ , und für eine statische Quelle, $\rho = \rho (\mathbf{x})$ , löst man eigentlich die Poisson-Gleichung. Wenn die Quelle radialsymmetrisch ist, $\rho = \rho(r)$ , wie in der Frage vorgeschlagen, ist die Lösung das Coulomb-Potential, $\phi = \phi(r) \sim 1/r$ . Unter Berücksichtigung einer nicht verschwindenden Masse erhält man ein Yukawa-Potential, $\phi \sim \exp(-mr)/r$ .

Dies kann explizit in Form von Fourier-Integralen gezeigt werden. Transformiere zuerst das Feld,

ϕ (k) = \int d^{4} x e^{ich k \cdot x} ϕ (x),

$\phi(k) = \int d^4 x \, e^{i k\cdot x} \, \phi (x) \; ,$

und ebenso die Quelle, $\rho \to \rho(k)$ . Die Impulsraumlösung der KG-Gleichung ist dann

ϕ (k) = \frac{ρ (k)}{k^{2} - m^{2} + ich ϵ},

$\phi(k) = \frac{\rho(k)}{k^2 - m^2 + i \epsilon} \; ,$

mit $k^2 = k_0^2 - \mathbf{k}^2$ und das kausale $i\epsilon$ -Verschreibung. (Ändern Sie entsprechend für verzögerte/fortgeschrittene Lösungen.) Transformieren Sie dann zurück in den Positionsraum,

ϕ (x) = \int \frac{d^{4} k}{(2 π)^{4}} e^{- ich k \cdot x} \frac{ρ (k)}{k^{2} - m^{2} + ich ϵ} . (* *)

$\phi (x) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \, e^{-i k\cdot x} \, \frac{\rho(k)}{k^2 - m^2 + i \epsilon} \; . \quad (**)$

Nehmen Sie als Beispiel eine Gaußsche Quelle, $\rho(r) = \rho_0 \exp(-\alpha r^2)$ , mit 'Normalisierung' $\rho_0 = (\alpha/\pi)^{3/2}$ . Seine Fourier-Transformation ist $\rho(k) = 2\pi i \, \delta(k^0) \exp (-k^2/4\alpha)$ . Das $k^0$ -integriert $(**)$ ist daher trivial, und die $d^3 k$ Integration kann mit dem üblichen Residuenschreibverfahren erfolgen $\mathbf{k}^2 + m^2 \equiv (\kappa+im)(\kappa-im)$ . Das Ergebnis ist

ϕ (r) = e^{m^{2} / 4 a} \frac{e^{- m r}}{4 π r} .

$\phi(r) = e^{m^2/4\alpha} \, \frac{e^{-mr}}{4\pi r} \; .$

In der Punktquellengrenze ( $\alpha \to \infty$ ) erhalten wir wieder das Standard-Yukawa-Potential.

Bei zeitabhängigen Quellen erfolgt eine Energieübertragung (Nr $\delta(k^0)$ ) und das Integral $(**)$ wird normalerweise schwieriger sein. Normalerweise kann man das $k^0$ -Integration über Reste und die verbleibende(n) mittels stationärer Phase wie zB in Kap. 2.1 von Peskin und Schröder.

Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben, dies zu schreiben. Ich habe diese Ansätze schon einmal gesehen, war aber in der Tat besorgt, dass diese mit zeit- und winkelabhängigen Termen nicht funktionieren würden. Ich hole Peskin und Schroeder aus der Bibliothek und probiere es aus; vielen Dank für den Kapitelhinweis. Obwohl die Lösungen im Fourier- und Ortsraum unter einer Transformation äquivalent sein müssen, impliziert dies dann doch, dass wir einige Darstellungen in geschlossener Form für die Bessel-Integrale haben? Interessant! Kann ein interessanter Forschungsweg für sich sein =)

Greensche Funktion für die inhomogene Klein-Gordon-Gleichung

Arthur Suworow

JamalS

Arthur Suworow

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Tom Heinzl

Arthur Suworow

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