Grund für Debye-Grenzfrequenz?

Dulong und Petit kamen auf C v = 3 R unter Verwendung des klassischen Gleichverteilungssatzes, den Einstein modifizierte (weil er für andere Objekte als Metalle nicht gelten konnte), indem er Plancks Quantisierung verwendete und annahm, dass alle Atome in einem Festkörper mit der gleichen schwingten ω was es so wirken ließ 3 N unabhängige harmonische Oszillatoren .... und es gab das (falsche) Ergebnis, dass die Wärmekapazität dazu tendiert 0 wie die Temperatur tendiert 0 K. Also korrigierte Debye dies, indem er sagte

Langwellige Moden haben niedrigere Frequenzen als kurzwellige Moden, daher sind erstere viel schwerer auszufrieren als letztere (weil der Abstand zwischen Quantenenergieniveaus, ℏ ω , ist im ersten Fall kleiner). Die molare Wärmekapazität nimmt mit der Temperatur nicht so schnell ab, wie es das Einstein-Modell vermuten lässt, da diese langwelligen Moden auch bei sehr niedrigen Temperaturen einen signifikanten Beitrag zur Wärmekapazität leisten können.

wie in diesem Link angegeben .

Es heißt auch:

dieser Ansatz ist vernünftig, da die einzigen Moden, die bei niedrigen Temperaturen wirklich wichtig sind, die langwelligen Moden sind, dh solche, deren Wellenlängen den interatomaren Abstand stark überschreiten. Es ist plausibel, dass diese Moden nicht besonders empfindlich auf die diskrete Natur des Festkörpers reagieren, dh die Tatsache, dass er aus Atomen besteht und nicht kontinuierlich ist.

Frage 1

Ich verstehe nicht, warum nur lange Wellenlängen wichtig sind. Warum sollte es die Schwingungen interessieren, ob der Festkörper diskret oder kontinuierlich ist? Warum brauchen Phononen benachbarte Atome, die näher sind als die Wellenlänge ihrer Schwingungsfrequenz?

Er fährt fort zu sagen:

Der Debye-Ansatz besteht darin, die tatsächliche Dichte von Normalmoden zu approximieren σ ( ω ) durch die Dichte in einem kontinuierlichen Medium σ C ( ω ) , nicht nur bei niedrigen Frequenzen (lange Wellenlängen), wo diese nahezu gleich sein sollten, sondern auch bei höheren Frequenzen, wo sie erheblich abweichen können. Angenommen, wir haben es mit einem Körper zu tun, der aus besteht N Atome. Wir wissen, dass es nur gibt 3 N unabhängige Normalmodi. Daraus folgt, dass wir die Zustandsdichte oberhalb einer kritischen Frequenz abschneiden müssen, ω D sagen, sonst haben wir zu viele Modi

Frage 2

Warum können wir theoretisch nicht "zu viele Modi" haben, außer der Tatsache, dass experimentelle Beweise etwas anderes sagen? Vielleicht ist dies eine naive Frage, aber ich brauche immer noch die Intuition für den CUTOFF, den Debye zu berufen beschlossen hat.

Er sagt auch:

die Debye-Frequenz hängt nur von der Schallgeschwindigkeit im Festkörper und der Anzahl der Atome pro Volumeneinheit ab. Die der Debye-Frequenz entsprechende Wellenlänge ist 2 π C S / ω D ( C S ist die Schallgeschwindigkeit im Festkörper), was eindeutig in der Größenordnung des interatomaren Abstands liegt A ∼ ( v / N ) 1 / 3 . Daraus folgt, dass die Grenzfrequenz von Normalmoden, deren Frequenzen die Debye-Frequenz überschreiten, äquivalent zu einer Grenzfrequenz von Normalmoden ist, deren Wellenlängen kleiner als der Atomabstand sind. Natürlich ist es physikalisch sinnvoll, dass solche Moden fehlen sollten

Frage 3

Nochmals, warum? Warum macht es physikalisch Sinn?

Ich sah mich weiter um und fand dieses Papier. Auf Seite 5 ganz unten steht:

Die Temperatur, bei der die kollektive oder akustische Schwingung in eine unabhängige thermische Schwingung übergeht, ist die Debye-Temperatur.

Und die Debye-Temperatur ist direkt proportional zur Debye-Grenzfrequenz.

Frage 4

Warum müssen wir diese Grenze zwischen akustischer und unabhängiger thermischer Schwingung ziehen? Können nicht auch thermische Schwingungen zur Wärmekapazität des Festkörpers beitragen?

Der Cutoff ist da, weil Wellen, die länger als der Abstand zwischen den Atomen sind, ausreichen, um die Bewegungen der Atome zu beschreiben. Kürzere Wellen beschreiben nur Schwingungen zwischen den Atomen - dort schwingen keine Massen.
Kürzere Wellen beschreiben Schwingungen von WAS zwischen den Atomen? Und was auch immer sie sein mögen, können sie nicht Wärme aufnehmen und speichern, ohne die Temperatur zu erhöhen und dadurch mehr zur Wärmekapazität beitragen?

Antworten (1)

Um dies zu beantworten, müssen wir verstehen, wie diese Abschaltung erscheint.

Sie ergibt sich aus den Näherungen, die in der kontinuierlichen Theorie gemacht wurden. Das Material ist definitiv nicht kontinuierlich, sondern besteht aus einer endlichen Anzahl von Atomen. Lange Wellenlängen entsprechen Wellen, die in jeder Periode viele Atome umfassen. Dies bedeutet, dass es kaum einen Unterschied zwischen der kontinuierlichen und der diskreten Theorie gibt. Wenn Sie die Wellenlänge verringern, verringern Sie die Anzahl der Atome in jeder Periode. Sie können sich vorstellen, dass eine Welle mit nur 5 Atomen in einer Periode nicht gerade eine kontinuierliche Welle ist: Es ist nur eine Ansammlung von Punkten, die mit einer gewissen Ähnlichkeit mit einer gewöhnlichen Sinuswelle oszillieren. Wenn Sie nur 2 Atome pro Periode oder weniger haben, sind Sie sicher, dass Sie eine gute Annäherung sagen, dass es sich um eine Welle handelt? Es ist eigentlich nicht.

Tatsächlich könnte eine Oszillation von Atomen mit sehr wenigen Punkten mehreren Arten von Sinuswellen entsprechen, wie in diesem Bild dargestellt . Dabei kann eine gegebene Schwingung durch mehrere Wellenlängen beschrieben werden. Dies bedeutet, dass Sie zu viele Modi zählen! Nehmen wir in der Tat das Beispiel von 2 Atomen pro Wellenlänge. Teilen Sie die Wellenlänge durch 2 => sie passt immer noch zur Schwingung. Teile die Wellenlänge wieder durch 2 => passt immer noch zur Schwingung. Und so weiter ... Das bedeutet, dass Sie für diese bestimmte Schwingung nicht alle diese Vielfachen verwenden sollten, da sie dieselbe Schwingung darstellen. Wiederholen Sie diese Argumentation für alle Schwingungen, und Sie werden erkennen, dass Sie die Wellenlängen unterhalb des interatomaren Abstands abschneiden müssen.

Ich hoffe, das beantwortet alle Ihre Fragen.

Ich verstehe jetzt die Motivation hinter dieser Abschaltung, danke. Aber es bleibt die Frage, warum wir diese zusätzlichen Wellen nicht berücksichtigen, die dieselben Schwingungen darstellen, da diese zusätzlichen Wellen auch in der Lage sind, Wärme zu speichern, oder? Das bedeutet, dass sie zur Wärmekapazität beitragen, was bedeutet, dass wir sie zählen SOLLTEN. Ich meine, wenn der interatomare Abstand Oszillationen von 1 oder mehr als 1 Wellenlänge entspricht, wen interessiert das? Sie sind immer noch Schwingungen und sie speichern Wärme.
Die Darstellung als Wellen ist ein mathematisches Konstrukt. Wellen gibt es hier nicht. Nur Atome und ihre Bewegung. Daher ist es ein Fehler, Wellen für dieselbe Atombewegung zweimal zu zählen.
Sag mir, ob das richtig ist. Schall oder Phonon sind Gitterschwingungen; und wenn die Schwingungsfrequenz der Atome einen bestimmten Wert überschreitet, schneiden wir sie ab, dh wenn die Wellenlänge kleiner als der Atomabstand ist, dann schließen wir sie nicht ein. Aber das Atom schwingt immer noch mit einer höheren Frequenz (niedrigere Wellenlänge, deren Vielfaches der interatomare Abstand sein könnte), es ist nicht so, als wäre es ein Duplikat der größeren Wellenlänge, also warum spielt es eine Rolle, ob der Abstand durch 1 oder mehr Unterschiede dargestellt wird? Wellenlängen? Die kürzeren Wellenlängen sind immer noch gültig, da sie auch Anregungen sind, oder?
Die hohen Frequenzen erfüllen nicht die Dispersionsrelation: Sie sind keine kollektiven Anregungen. Es ist wahr, dass diese Vibrationen existieren (sie sind thermisch), aber sie klingen bei niedriger Temperatur ab.
also ist das der grund? ihr unbedeutender Beitrag bei niedriger Temperatur, wo debye's T 3 Gesetz war ein Erfolg? im Gegensatz zu mehreren Darstellungen gleicher Entfernung?
Es ist beides. 1) Warum nicht alle Wellenlängen verwenden? Denn kurze stellen keine kollektive Schwingung dar und sind Duplikate. 2) Wie werden also schnelle Schwingungen dargestellt? Sie werden bei niedrigen Temperaturen verworfen.
Eigentlich war das meine Frage. Warum verwerfen wir unabhängige thermische Oszillationen? Warum nur organisierte, kollektive Schwingungen (Klang) einbeziehen? Wenn wir die Wärmekapazität berechnen, sollten wir alle möglichen Schwingungen einbeziehen, die Wärme speichern können, richtig? Ich habe viele Quellen zu diesem Thema gelesen, wenn möglich, können Sie mir bitte einige zitieren? da ich mich nicht damit abfinden kann, dass duplikate bei der berechnung der wärmekapazität weggeworfen werden müssen; Wenn überhaupt, denke ich, dass sie beibehalten werden müssen.
Entschuldigung, ich habe einen Fehler in einem vorherigen Kommentar gemacht. In einem Festkörper, der sich exakt als eine Reihe schwingender, aneinander gebundener Atome darstellt, müssen alle Schwingungen die Dispersionsrelation erfüllen. Es kann keine geben, die es konstruktionsbedingt nicht erfüllt. In den Phononen sind dann immer thermische Schwingungen enthalten. Ich weiß nicht, was bei Feststoffen passiert, bei denen eine "zusätzliche" thermische Komponente hinzugefügt werden kann. Falls vorhanden, ist möglicherweise ein weiterer Begriff erforderlich. Beispielsweise könnten Elektronenschwingungen eine Rolle spielen. In Ihrem Fall ist die Annahme jedoch die eines perfekt gebundenen Festkörpers.
Grund für Debye-Grenzfrequenz?
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