Was sind die sechs Freiheitsgrade der Atome in einem Festkörper?

Für einen Freiheitsgrad, dessen Energie nur im Impuls quadratisch ist (aber flach in der Position oder flach mit harten Wänden), ist die durchschnittliche Energie klassischerweise gleich$kT/2$. Das ist der grundlegende Gleichverteilungssatz für ein ideales Gas. Ein weniger bekanntes Ergebnis ist jedoch, dass ein klassischer Freiheitsgrad mit quadratischer Energie sowohl im Impuls als auch im Ort eine durchschnittliche Energie von hat$kT$. Die Atome in einem Festkörper befinden sich in gewissem Sinne jeweils in einem harmonischen 3-Wege-Oszillator (das ist das Einstein-Modell) und daher hat man$3NkT$Energie, dh$3Nk$Wärmekapazität.(†)

Um dies intuitiv zu verstehen, sollte man natürlich den Äquipartitionssatz selbst herleiten. Aber im Grunde macht man, indem man Energie auch quadratisch in Position hat, die niedrigeren Energiezustände weniger verbreitet; Die niedrige Energie erfordert nicht nur einen kleinen Impuls, sondern auch eine bestimmte Position. Durch zunehmende Energie werden immer mehr Positionen verfügbar. Im Gegensatz zu einem flachen Potential kann die Position immer einen beliebigen Wert annehmen und so braucht ein Niedrigenergiezustand nur einen kleinen Impuls.

Wenn Sie sich also jedes Atom in einem Festkörper vorstellen würden, anstatt in einer eigenen kleinen Box mit harten Wänden zu sein, dann würde ein solches Modell nur nachgeben$3Nk/2$Wärmekapazität.

(†) Okay, eigentlich sind die Atome alle miteinander gekoppelt, aber wenn man es so betrachtet, kann man nicht mehr so ​​einfach von den einzelnen Beiträgen einzelner Atome sprechen. Wenn Sie sich diese ganzen Schwingungen ansehen, erhalten Sie Phononen und das Debye-Modell. Grundsätzlich vermischen sich aber alle atomaren harmonischen Oszillatoren zu verschiedenen Moden, aber natürlich bleibt die Anzahl der Moden gleich der ursprünglichen Anzahl der einzelnen Oszillatoren. Aber jeder Modus ist selbst ein harmonischer Oszillator, also bekommen Sie das$3Nk$Wärmekapazität bei hoher Temperatur.(‡)

(‡) Eigentlich nur$3(N-\frac{1}{2})k$da drei der kollektiven Moden nicht oszillieren, sondern der linearen Bewegung des gesamten Materialblocks entsprechen. Diese drei Modi geben also jeweils nur$kT/2$.

Es gibt 3 Schwingungsrichtungen: nämlich die Komponenten$x$,$y$und$z$und jede dieser Richtungen hat 2 Freiheitsgrade; eine der potentiellen Energie und eine der kinetischen Energie. Insgesamt gibt es also$3\times 2 = 6$Freiheitsgrade.

Die sechs Freiheitsgrade sind tatsächlich, wie Sie angenommen haben, schwingend. Genauso wie es drei translatorische Freiheitsgrade für jeweils eine Raumrichtung gibt, gibt es zwei (die Anzahl der Normalmoden) Schwingungsfreiheitsgrade pro Richtung. Das ergibt insgesamt$3*2=6$Freiheitsgrade pro Atom.

Antwort auf Kommentar; in Bezug auf Normalmodi und Freiheitsgrade

Ein Oszillator kann auf viele verschiedene Arten schwingen, aber sie sind alle eine Überlagerung seiner normalen Modi. In diesem Sinne ist es zum Beispiel etwas analog zu den Eigenzuständen des Hamiltonian in Problemen in der QM. Beispielsweise gibt es für ein Elektron zwei Spinzustände (oben und unten), und es kann sich nur in einer Überlagerung dieser beiden befinden. Ebenso kann sich ein System mit zwei Normalmoden nur in einer Überlagerung dieser beiden „Grundschwingungen“ befinden. Somit ist die Anzahl der Normalmoden gleich der Anzahl der Freiheitsgrade.

Freiheitsgrad = Anzahl der Möglichkeiten, sich frei zu bewegen

Im Allgemeinen gibt es drei Achsen, um die sich ein bestimmtes Teilchen, Atom oder Molekül bewegen kann: x-Achse, y-Achse und z-Achse

Im Festkörper kann sich das Teilchen/Molekül/Atom nicht frei bewegen, da es im Vergleich zu Gasen durch umgebende Atome verstopft ist.

Sie können sich jedoch mit Hilfe ihrer Energie oder der Energie der Nachbarn entlang dieser x-, y- und z-Achse frei bewegen. Lassen Sie mich das erklären: Die persönliche Energie des Atoms kann als seine potenzielle Energie betrachtet werden, die verwendet werden kann, um sich entlang jeder dieser drei Achsen (x, y oder z) zu bewegen. Dies bedeutet, dass die potenzielle Energie des Atoms verwendet werden kann, um sich entlang einer der drei Achsen zu bewegen, indem die benachbarten Atome entlang dieser Achse geschoben werden. Daher hat es 3 Richtungen oder Grade oder Achsen, um sich frei zu bewegen, indem es seine eigene Energie nutzt. Daher 3 Möglichkeiten, sich frei zu bewegen, indem er seine persönliche Energie nutzt.

Der Rest der 3 Möglichkeiten oder Grade, die ein Atom sich frei im Festkörper bewegen lassen, besteht darin, dass ich von den benachbarten Atomen über eine dieser 3 Achsen (x, y oder z) getroffen werde.

In Festkörpern kann sich das Atom also frei in diesen drei Achsen bewegen, indem es entweder benachbarte Atome drückt oder von benachbarten Atomen entlang dieser x-, y- oder z-Achse geschoben wird.

3 Achsen, um andere Atome zu schieben + die gleichen 3 Achsen, um von anderen Atomen geschoben zu werden = 6 Möglichkeiten, sich zu bewegen (Freiheit).