Hamilton- oder Hamilton-Jacobi-Formalismus mit Hamilton-Operator gleich Null

Question

Hamilton- oder Hamilton-Jacobi-Formalismus mit Hamilton-Operator gleich Null

K. Lindy

Ich habe die Lagrange-Funktion:

\begin{matrix} (1) & L = \sqrt{\frac{{\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}}{- j}} . \end{matrix}

$L=\sqrt{\frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{-y}}.\tag{1}$

Die Energie ist dann:

\begin{matrix} (2) & H = \dot{X} \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} + \dot{j} \frac{\partial L}{\partial \dot{j}} - L = 0. \end{matrix}

$H=\dot{x}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}+\dot{y}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}-L=0.\tag{2}$ Kann ich in diesem Fall irgendwie den Hamilton- oder Hamilton-Jacobi-Formalismus anwenden, um die Bewegung zu finden?

Javier

Wenn

H = 0

$H=0$ dann ist alles super einfach, alles ist konstant (schau dir nur die Hamilton-Gleichungen an). Im Wesentlichen haben Sie die Hamilton-Jacobi-Gleichung bereits gelöst.

DanielC

Was sind die kanonischen Impulse?

K. Lindy

Nun, aber ich weiß, dass die Lösung für das Lagrange-L eine Bewegung entlang einer Zykloide ist. Es ist also nicht alles konstant. Wie erhält man eine solche Lösung aus dem Hamilton-Operator, der Null ist?

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Hamilton- oder Hamilton-Jacobi-Formalismus mit Hamilton-Operator gleich Null

Wenn $H=0$ dann ist alles super einfach, alles ist konstant (schau dir nur die Hamilton-Gleichungen an). Im Wesentlichen haben Sie die Hamilton-Jacobi-Gleichung bereits gelöst.
Nun, aber ich weiß, dass die Lösung für das Lagrange-L eine Bewegung entlang einer Zykloide ist. Es ist also nicht alles konstant. Wie erhält man eine solche Lösung aus dem Hamilton-Operator, der Null ist?

QMechaniker · Answer 1

Der Lagrange (1) von OP ist der Quadratwurzel-Lagrange für ein massives relativistisches Punktteilchen (oder gleichwertig Geodäten) in einem gekrümmten Raum mit Metrik
$\begin{matrix} (1) & G = \frac{D X ⊙ D X + D j ⊙ D j}{- j}, j < 0 . \end{matrix}$ ${\bf g}~=~\frac{\mathrm{d}x\odot \mathrm{d}x+ \mathrm{d}y\odot \mathrm{d}y}{-y}, \qquad y~<~0 .\tag{1}$
Die Quadratwurzel-Lagrangedichte (1) hat eine Worldline-Reparametrierungsinvarianz, dh Eichsymmetrie. Als Ergebnis die Lagrange-Energiefunktion $h(x,y,\dot{x},\dot{y})$ [und der Hamiltonian $H(x,y,p_x,p_y)$ im entsprechenden Hamiltonschen Formalismus, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag] verschwinden.
Am einfachsten geht man vor, wenn man die entsprechende Nicht-Quadratwurzel-Lagrangedichte betrachtet, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Dann sind die Legendre-Transformation, die Hamilton- und die Hamilton-Jacobi-Theorie im Prinzip einfach aufzustellen.

OK. Aber mein Problem ist wie folgt. Die Lagrange-Funktion beschreibt eine Bewegung entlang einer Zykloide (dies kann anhand von Lagrange-Gleichungen gezeigt werden). Kann ich dieses Ergebnis innerhalb des Hamilton-Jacobi-Formalismus reproduzieren?

Hamilton- oder Hamilton-Jacobi-Formalismus mit Hamilton-Operator gleich Null

K. Lindy

Javier

DanielC

K. Lindy

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QMechaniker

K. Lindy

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