Hat eine Welle Trägheit?

Lassen Sie uns zuerst die allgemeine Frage ansprechen – haben „Wellen“ jeglicher Art Trägheit (oder können sie haben)? Ich nehme an, Sie meinen hier mit "Trägheit" "Widerstand gegen Geschwindigkeitsänderungen". Dies gilt sicherlich für Wellen in, sagen wir, Wasser – Sie haben sicherlich einen Widerstand gegen Ihre Hand gespürt, wenn Sie sie durch Wasser streichen, um eine Welle zu erzeugen; Die zerstörerische Kraft eines Tsunamis ist ein extremeres Beispiel für die Kraft, die eine Welle übertragen kann.

Auch im klassischen Elektromagnetismus, wo die Wellen (Licht) masselos sind, haben sie noch Trägheit. Betrachten wir als sehr direktes Beispiel ein Sonnensegel, das Licht von einer Quelle reflektiert und vom zurückprallenden Licht Impuls erhält – wir würden dies nicht erwarten, wenn Lichtwellen keine Trägheit hätten, da wir uns in diesem Fall vermutlich leicht ändern könnten ihre Richtung ohne Widerstand.

Haben Quanten-"Materiewellen" nun Trägheit? Dies ist eine subtilere Frage, da die Welle nicht als "ausgebreitetes" Teilchen angesehen werden sollte, sondern als Wahrscheinlichkeitsamplitude für das zu messende Teilchen an einem bestimmten Punkt im Raum vorhanden ist.

Ich denke jedoch, dass es klar sein sollte, dass diese Wellen Trägheit haben, wenn man Kollisionsprobleme betrachtet, genau wie wir es für die beiden vorherigen Fälle getan haben. Wir wissen, dass beim Zusammenstoß zweier Teilchen Impuls erhalten bleiben muss. So ist es zum Beispiel nicht möglich, dass zwei Teilchen gleicher Masse frontal zusammenstoßen und sich danach beide in die gleiche Richtung bewegen, und außerdem wissen wir, dass diese Kollision quantenmechanisch durch die Wellengleichungen von Schrödinger sehr gut modelliert ist.

Um eine direktere und mathematischere Antwort zu erhalten, betrachten wir eine andere Definition von Trägheit, die besagt, dass ein Objekt Trägheit hat, wenn seine Geschwindigkeit (und damit sein Impuls) unverändert bleibt, es sei denn, es wird von einer äußeren Kraft eingewirkt. Für ein massives, nicht-relativistisches Teilchen ist der Hamilton-Operator gegeben durch:

$$\begin{equation} H = \frac{p^2}{2m} + V(x) \end{equation}$$ Hier ist V(x) unser externes Potential ("Kraft" ist eine schwierige Größe, mit der man in der Quantenmechanik arbeiten kann), $p$ist der Impulsoperator, und $m$ist die Masse des Teilchens. Angenommen, es gibt keine äußere Kraft, also $V(x) = 0$(oder wirklich eine Konstante). Dann ist die Änderungsrate des Impulsoperators unter Verwendung des Heisenberg-Bildes (entspricht dem traditionelleren Schrödinger-Wellenbild) wie folgt: $$\begin{equation} \frac{ \mathrm{d}{p}}{\mathrm{d} t} = \frac{i}{\hbar} \left[ H , p \right] = 0 \end{equation}$$ Dies liegt daran, dass der Impulsoperator nur mit pendelt $p^2$, und Operatoren pendeln immer mit ihren eigenen Quadraten. Daher ist der Impuls unveränderlich, und wir können sehen, dass das "Trägheitsprinzip" tatsächlich von den Gleichungen der Quantenmechanik respektiert wird. Dies geschieht in den Gleichungen im Wesentlichen dadurch, dass der freie Teilchen-Hamiltonoperator mit dem Impuls pendelt und sich daher der Impuls nicht ändert, wenn das Teilchen diesem Hamiltonoperator unterliegt.

TDSE

TISE

Hier haben Sie die zeitabhängigen bzw. unabhängigen Schrödinger-Wellengleichungen. Diese beziehen sich auf die Energie von Teilchen, aber das Dreizacksymbol Psi ist repräsentativ für die eigentliche Wellengleichung, von der ich glaube, dass Sie sich darauf beziehen.

Während De Broglie und Schrödinger und andere ihresgleichen Partikel als wellenartig beschreiben, beziehen sie sich hauptsächlich auf Wahrscheinlichkeitsfunktionen oder Wellengleichungen, die beschreiben, wo ein Partikel wahrscheinlich zu finden ist. Das heißt, in einem gegebenen Raum können die Teilchen und die "Wege", auf denen sie sich bewegen, durch Wellen dargestellt werden, wo es Kämme (Bereiche mit hoher Wahrscheinlichkeit) und Täler (Bereiche mit geringer Wahrscheinlichkeit) gibt.

Kurz gesagt, Teilchen KÖNNEN Masse haben und KÖNNTEN daher Trägheit haben, aber die Wellengleichung selbst nicht, da sie lediglich eine Darstellung der Wahrscheinlichkeit sind.

Hoffe das hilft!