Hat Russell Gödels Unvollständigkeitssätze verstanden?

Nach einigem Suchen fand ich einige vielversprechende Hinweise (und ziemlich viele konsistente Beschreibungen), die darauf hindeuten, dass Russell dachte, Gödels Ergebnisse seien von grundlegender Bedeutung, aber ihre Implikationen missverstanden. Insbesondere dachte er, dass Gödels Ergebnis im Wesentlichen beinhaltete, dass die Peano-Arithmetik eher inkonsistent als unvollständig war ; erkannte aber auch, dass Gödel dies wahrscheinlich nicht behaupten würde.

Natürlich war mir klar, dass Gödels Arbeit von grundlegender Bedeutung ist, aber ich war darüber verwirrt. Es machte mich froh, dass ich mich nicht mehr mit mathematischer Logik beschäftigte. Wenn eine gegebene Menge von Axiomen zu einem Widerspruch führt, ist klar, dass mindestens eines der Axiome falsch sein muss. Gilt das für das Rechnen der Schüler, und wenn ja, können wir irgendetwas glauben, was uns in unserer Jugend beigebracht wurde? Sollen wir denken, dass 2 + 2 nicht 4, sondern 4,001 ist? Offensichtlich ist dies nicht beabsichtigt.

(Aus Russel, Gödel, and Logicism .) Es wäre interessant, eine vollständigere Aufzeichnung darüber zu haben, wie Russell zu diesem Missverständnis kam: War es, dass etwas als Theorem etabliert wurde, dessen Inhalt darin bestand, eine Aussage als wahr zu bestätigen, die war? beweisbar kein Satz (eines anderen formalen Systems)? Natürlich hat Russell vielleicht nicht sehr ausführlich erklärt, warum er das Unvollständigkeitstheorem so interpretiert hat, wie er es tat; er hatte schließlich aufgehört, sich mit mathematischer Logik zu beschäftigen. Als ein erstaunlicher Autor und eine naheliegende Person, um nach Gödels Ergebnissen zu fragen, scheint es plausibel, dass meine oberflächliche Suche nur das oberste Zehntel des Eisbergs offenbart hat. Diese Hypothese wird durch die Aufzeichnung von Gödels Reaktion auf Russells Reaktion auf sein Unvollständigkeitstheorem gestützt:

Russell interpretiert mein Ergebnis offensichtlich falsch; jedoch tut er dies auf eine sehr interessante Art und Weise.

(Aus Information and Randomness: An Algorithmic Perspective .) Vielleicht fand Gödel einfach, dass Russells verwirrte Besorgnis eine erfrischende Veränderung der Reaktion gegenüber der anderer war; vielleicht sagte er dies, um den Kontrast zu Wittgensteins Reaktion auf den Unvollständigkeitssatz zu verstärken (was trivial war, aber was sollte man mehr von jemandem erwarten, der die Mengenlehre für eine Kinderkrankheit hält?); oder vielleicht war Gödel einfach höflich zu einem älteren Staatsmann. Aber wenn er Russells Reaktion wirklich interessant fand, würde dies auf eine deutlichere Fehlinterpretation hindeuten.

Das Folgende stammt aus einem späten Aufsatz von Russell mit dem Titel „Logical Positivism“. Zu finden in "Logik und Wissen"

Es zeigte sich, dass jede Sprache eine gewisse Unvollständigkeit aufweisen muss, in dem Sinne, dass über die Sprache Dinge zu sagen sind, die in der Sprache nicht gesagt werden können. Das hängt mit den Paradoxien zusammen - der Lügner, die Klasse der Klassen, die nicht ihrer selbst angehören usw. Diese Paradoxien schienen mir zu ihrer Lösung eine Hierarchie von "logischen Typen" zu fordern, und dazu gehört die Lehre von der Hierarchie der Sprachen zu der gleichen Reihenfolge von Ideen. Wenn ich zum Beispiel sage „alle Sätze in der Sprache L sind entweder wahr oder falsch“, so ist das kein Satz in der Sprache L. Es ist, wie Carnap gezeigt hat, möglich, eine Sprache zu konstruieren, in der viele Dinge über die Sprache kann gesagt werden, aber niemals alles, was gesagt werden könnte: Einiges davon wird immer zur „Metasprache“ gehören. Zum Beispiel,
Es hat eine enorme technische Entwicklung der Logik, der logischen Syntax und der Semantik gegeben. Auf diesem Gebiet hat Carnap die meiste Arbeit geleistet. Tarskis „Der Begriff der Wahrheit in den formalisierten Sprachen“ ist ein sehr wichtiges Buch, und wenn man es mit den Versuchen der Philosophen in der Vergangenheit vergleicht, „Wahrheit“ zu definieren, zeigt es die Steigerung der Macht, die von einer völlig modernen Technik ausgeht. Nicht dass die Schwierigkeiten zu Ende sind. Eine neue Reihe von Rätseln hat sich aus der Arbeit von Gödel ergeben, insbesondere aus seinem Artikel "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandte Systeme" (1931), in dem er bewies, dass es in jedem formalen System möglich ist, Sätze zu konstruieren, aus denen die Wahrheit oder Falschheit kann innerhalb des Systems nicht entschieden werden. Auch hier stehen wir wieder vor der wesentlichen Notwendigkeit einer Hierarchie,

Es sieht so aus, als wäre er dem Verständnis hier ein wenig näher gekommen, aber noch ziemlich weit davon entfernt. Er scheint Turings Entscheidbarkeit, den Definierbarkeitssatz von Tarski und Unvollständigkeit zu einem homogenen Klumpen zu verwechseln. Seine Aussage zu Gödels Theorem ist entweder trivial falsch oder interessanterweise wahr, je nachdem, was er mit „entscheidbar in einem formalen System“ meint: Der Mann hat ein Händchen für Aussagen, die die Grenze zwischen beiden überschreiten.

Russells Kommentare zu Gödel waren spärlich, aber es war sehr unwahrscheinlich, dass Russell nicht verstand, wovon Gödel sprach. Der von Gödel vorgestellte Paradoxon-Satz war nichts Neues; es war das gleiche alte Teufelskreis -Paradoxon, das durch Russells Theorie der Typen [Quelle 1] reichlich zerstreut worden war. Russell entdeckte 1906 die Theorie der Typen. Die Theorie der Typen bot keinen Schutz für Teufelskreise. [Quelle 3] Andererseits deutete Gödels erneutes Aufwerfen dieses Paradoxons im Jahr 1931 darauf hin, dass Gödel Russells Theorie der Typen wahrscheinlich nie verstanden hatte.

In Russells Theorie der Typen ist die Bedeutung grundlegend. Die Bedeutung eines selbstreferenziellen Satzes G kann nicht bestimmt werden, bis die Bedeutung jedes seiner Bestandteile bestimmt ist; Einer der Bestandteile von G ist G selbst, daher kann die Bedeutung von G nicht bestimmt werden, da G einen Teufelskreis enthält.

Kein Satz kann etwas über sich selbst aussagen, weil das Satzzeichen nicht in sich selbst enthalten sein kann (das ist die „ganze Typenlehre“).

Wittegenstein, Tractatus 3.332

Gödel betrachtete aus formalistischer Sicht Symbole in PM als bedeutungslose Leerzeichen [Quelle 9], und Gödel gelang es, durch Nummerierung zu zeigen, dass G zu der Menge von Sätzen gehörte, für die PM eine Grundlage sein sollte - Dies war der Streitpunkt: Nach Russells Typentheorie hatte G keine Bedeutung und gehörte daher nicht zum Satzkörper: Alle selbstreferenziellen Sätze wurden von der Typentheorie ausdrücklich als unsinnig ausgesondert. Gödels Angriff auf Principia glich dem, eine Tüte Gras in das Auto seines Mitbewohners zu stecken und ihn dann des illegalen Drogenbesitzes zu beschuldigen, oder seinen Mitbewohner, der tatsächlich eine andere Sprache am Telefon sprach, zu beschuldigen, Drohungen gegen den Präsidenten ausgesprochen zu haben Die Vereinigten Staaten

Die Wurzel des Problems war die Missachtung von Bedeutungen durch die Formalisten. In Russells „Introduction To The Second Edition“ von The Principles of Mathematics von 1937 wies Russell Formalisten kategorisch zurück:

Die Formalisten sind wie ein Uhrmacher, der so sehr damit beschäftigt ist, seine Uhren schön zu machen, dass er deren Zweck, die Zeit anzuzeigen, vergessen hat und deshalb keine Werke eingefügt hat.

War Gödels Werk unter aller Geringschätzung? Es gibt auf dieser Welt Verrückte, Gauner und Betrüger. Die Gauner sind unter aller Verachtung; die Wahnsinnigen und Betrüger sind es nicht. Russell war sehr großzügig; er lobte Wittgenstein und Ramsey, die seine Principia rücksichtslos angriffen, gleichzeitig aber unmissverständlich ihr Verständnis für seine Typenlehre demonstrierten. Andererseits weist nichts in Gödels Werk darauf hin, dass Gödel auch nur eine Ahnung von Russells Typentheorie hatte. Obwohl Russell darauf bedacht war, etwas Nettes zu sagen, gab es wirklich nicht viel, was er sagen konnte; gegenüber aufstrebenden Philosophen war Russell zärtlich und fürsorglich und achtete sehr darauf, es zu vermeiden, seine Stimme zu erheben. [Quelle 6] Russell stand Gödel Anfang der 1940er Jahre tatsächlich gegenüber; Der folgende Auszug war Russells Bericht über seine Begegnung mit Gödel:

Während meiner Zeit in Princeton lernte ich Einstein ziemlich gut kennen. Früher bin ich einmal in der Woche zu ihm nach Hause gegangen, um mit ihm und Gödel und Pauli zu diskutieren. Diese Diskussionen waren in gewisser Weise enttäuschend, denn obwohl alle drei Juden und Exilanten und in Absicht Kosmopoliten waren, stellte ich fest, dass sie alle eine deutsche Neigung zur Metaphysik hatten, und trotz unserer größten Bemühungen kamen wir nie zu einer Übereinstimmung Prämissen, von denen aus argumentiert werden kann. Gödel entpuppte sich als unverfälschter Platoniker und glaubte offenbar, dass ein ewiges „Nicht“ im Himmel abgelegt sei, wo tugendhafte Logiker hoffen könnten, ihm im Jenseits zu begegnen.

Russel, Bertrand. "Amerika. 1938-1944." Autobiographie. 1967. London und New York: Routledge, 2000. Druck. 466.

Gödels Theoreme waren für Formalisten wahrscheinlich verheerender, weil sie zeigten, welche Absurditäten im Formalismus zulässig waren. Nichtsdestotrotz ist es möglich, dass PM unvollständig oder inkonsistent ist, aber es war nicht das Anliegen von PM, sich als vollständig und konsistent zu erweisen. Sowohl Vollständigkeit als auch Konsistenz betreffen alle , genau welche Aussagen alles ausmachen, ist der Streitpunkt. [Quelle 4] PM zielte überhaupt nicht ab; es zielte darauf ab, die Arithmetik abzuleiten, die der Ausgangspunkt der gewöhnlichen Mathematik war; PM war am Ziel und PM machte unterwegs mehrere zufällige Entdeckungen. In Bezug auf die Konsistenz war alles, was PM wahrscheinlich sagen konnte, ungefähr so: „Bis heute wurde keine Kontraktion innerhalb von PM entdeckt“ – mehr als das war jenseits dessen, was induktive Argumentation rechtfertigen könnte [Quelle 2]. Indem er Arithmetik aus logischen Prinzipien ableitete, zeigte PM, dass Mathematik und Logik identisch sind – diese These, die erstmals in seinen Prinzipien von 1900 vorgeschlagen wurde , Russell hatte nie einen Grund gesehen, sie zu ändern.[Quelle 5]

Wenn der Gödel-Satz wahr wäre, wäre PM inkonsistent, da PM aufgrund von PM ✳2.02, das besagt, dass eine wahre Aussage durch jede Aussage impliziert wird, PM G impliziert. Jede Prämissengruppe, die G ableiten kann, ist keine gültige Grundlage, weil sie enthält ein Widerspruch; ein inkonsistenter Satz von Prämissen enthält falsche Prämissen, und eine falsche Prämisse impliziert jegliche Schlussfolgerung (PM ✳2.21) – deshalb fragte Russell: „Sollen wir glauben, dass 2 + 2 nicht 4, sondern 4,001 ist?“ Andererseits, wenn Prinzipien in PM behauptet wurden, betraf der Gödel-Satz niemanden, weil er entweder Unsinn oder kein Widerspruch zur Theorie der Typen war. [Quelle 3]

Können Sie wissen, dass ein Satz wahr ist, bevor er bewiesen ist? Ja, du kannst. Aber diese Sätze sind das, was Wittgenstein Tautologien nannte, von denen keiner Gödel-Satz G ist. Im Grunde sind Tautologien verschiedene Arten, dasselbe auszudrücken. Tautologie

Wie alle Theorien, deren Rechtfertigungen induktiv sind, sollte PM von Natur aus vorläufig sein und Revisionen auf der Grundlage neuer Beweise unterliegen; die zweite Ausgabe von PM demonstrierte Russells Haltung mehr als nur als Beweis: Russell lernte aus dem Newton-Leibniz-Streit, und er hatte nicht den Wunsch, den Platz von Aristoteles einzunehmen, um sich als überragende Autorität zu etablieren – Russell bemühte sich tatsächlich, das Spielen zu vermeiden die Autoritätsrolle. 7 [8]

Quellen: 1. Das Prinzip des Teufelskreises

2. Die induktive Natur der Principia Mathematica

3. Wenn der Gödel-Satz wörtlich genommen wird, ist er Unsinn; Wenn es in der Typentheorie interpretiert wird, ist es eine gleichzeitige Behauptung mehrerer Aussagen - das meint Russell mit "Hier stehen wir wieder vor der wesentlichen Notwendigkeit einer Hierarchie, die sich bis ins Unendliche erstreckt und logisch nicht vervollständigt werden kann." Siehe Das Paradoxon des Lügners. Beachten Sie, dass jedes Mal, wenn ich auf das Paradoxon des Lügners hinweise, die Leute automatisch sagen, dass ich fälschlicherweise wahr mit beweisbar verwechselt habe. Eigentlich ist diese Unterscheidung irrelevant; Was das Paradoxon des Lügners und G gemeinsam haben, ist, dass sie alle selbstreferenziell sind. Wenn sich ein Satz nicht selbst kommentieren kann, dann kommentiert er sein Gegenstück eine Ordnung unter sich selbst, also erhebt sich eine Hierarchie von der zweiten Ordnung bis ins Unendliche. Es gibt kein G erster Ordnung, weil eine Aussage über eine Aussage mindestens 2. Ordnung ist. Bei Aussagen erster Ordnung geht es um Einzelpersonen, nicht um Aussagen. Theorie der logischen Typen

4. Wenn Konsistenz bedeutet, dass es keinen Widerspruch gibt, dann muss man alle Aussagen untersuchen, was geht dann wiederum in alle über ? Russell sagte irgendwo, dass Whitehead und er selbst glaubten, es sei unmöglich zu beweisen, dass ein formales System konsistent sei.

5.

Die Grundthese der folgenden Seiten, Mathematik und Logik seien identisch, habe ich seither nie mehr veranlaßt, sie zu modifizieren. Russel, Bertrand. Einleitung zur zweiten Auflage. Zweiter Absatz. Grundlagen der Mathematik, 1937.

6. Russell erwähnte in mehreren Schriften, dass extrem intelligente Menschen auch emotional instabil sind; Anstatt "mentale Härte" zu fordern, plädierte er dafür, sensible Kinder von der Menge zu trennen. Eine Quelle, die ich mit Sicherheit sagen kann, ist Bildung und das gute Leben. Russell war sich des zerbrechlichen mentalen Zustands in der philosophischen Gemeinschaft definitiv bewusst. Dieses Bewusstsein durchdringt fast alle seine nicht-technischen Schriften.

7. Irgendwo beschuldigte Russell Newton, die britische Mathematik 150 Jahre lang verzögert zu haben, und er wusste nicht, wie weit die britische Mathematik hinter Deutschland zurückgefallen war, bis er die USA besuchte. Ich kann mir die Quelle nicht aus dem Kopf schlagen, aber irgendwo hat er definitiv so etwas gesagt

8. Russell versuchte im 2. ohne Axiom der Reduzierbarkeit auszukommen. Ramsey beschuldigte die AOR, eine Frage der rohen Tatsachen zu sein, keine Tautologie (siehe Ramey's Foundations of Mathematics ); Russell gab zu, dass es AOR an Evidenz mangelte, und war bereit zu zeigen, wie es im 2. Jahr ohne AOR war.

9. Die folgende Interpretation von PM durch Formalisten ist das größte Missverständnis von PM durch Formalisten:

Die Symbole von PM sind jedoch völlig bedeutungslos in dem Sinne, dass die Ableitung von Theoremen nur von der Befolgung der formalen Regeln von PM abhängt.

Quelle: Nagel & Newmann. Gödels Beweis. New York und London: New York University Press, 2001. Druck 71.

Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie die Theorie der Typen funktioniert, nehmen Sie zum Beispiel den Satz „eine Menge ist kein Mitglied von sich selbst“; dieser Satz ist weder wahr noch falsch; es ist bedeutungslos und hat daher keine Zugehörigkeit zu dem Satz von Aussagen, für die PM eine Grundlage sein soll. Offensichtlich sind Sätze wie dieser nicht nur Formalisten erlaubt, die Bedeutung nicht als Schutzkriterium betrachten, das den Eingang von Unsinn verhindert, sie sind sogar grundlegend für ZFC .

Wie in einem Kommentar erwähnt , hat Alasdair Urquhart einen Aufsatz geschrieben, Russell and Gödel ( Bull. Symb. Logic 22 (2016), 504–520), der eine Reihe verschiedener Themen behandelt, einschließlich Russells Sicht auf Gödels Ergebnisse. Er liefert viele der Russell-Zitate, die andere Befragte hier gegeben haben, sowie das folgende Zitat aus einem „Addendum“, das 1965 geschrieben, aber erst posthum 1971 in der vierten Ausgabe von The Philosophy of Bertrand Russell veröffentlicht wurde .

Nicht lange nach dem Erscheinen von Principia Mathematica, schlug Gödel eine neue Schwierigkeit vor. Er bewies, dass es in jeder systematischen logischen Sprache Sätze gibt, die gesagt, aber weder bewiesen noch widerlegt werden können. Dies wurde von vielen (ich glaube nicht von Gödel) als fataler Einwand gegen die mathematische Logik in der Form aufgefasst, die ich und andere ihr gegeben hatten. Diese Ansicht konnte ich mir nie zu eigen machen. Von denen, die diese Ansicht vertreten, wird behauptet, dass keine systematische logische Theorie für alles wahr sein kann. Seltsamerweise wenden sie diese Meinung nie auf die elementare Alltagsrechnung an. Bis sie dies tun, denke ich, dass sie ignoriert werden können. Ich hatte immer angenommen, dass es Sätze in der mathematischen Logik gibt, die zwar behauptet, aber weder bewiesen noch widerlegt werden können. Zwei davon hatten einen ziemlich prominenten Platz in Principia Mathematica– nämlich das Axiom der Wahl und das Axiom der Unendlichkeit. Vielen mathematischen Logikern erscheint der zerstörerische Einfluss von Gödels Arbeit jedoch viel größer als mir und es wurde angenommen, dass er eine große Einschränkung des Umfangs der mathematischen Logik erfordert. … Ich halte an der Ansicht fest, dass man die beste Reihe von Axiomen aufstellen sollte, die einem einfallen, und daran glauben sollte, es sei denn, und bis tatsächliche Widersprüche auftreten.

Dieses Zitat scheint ein einigermaßen gutes Verständnis dessen zu demonstrieren, was Gödel bewiesen hat. Andererseits gibt es, wie bereits erwähnt, andere Bemerkungen Russells, die Gödel falsch zu verstehen scheinen. Urquhart schlussfolgert: „Am Ende ist es wahrscheinlich unmöglich, Russells Kommentare zum Unvollständigkeitstheorem in vollständig konsistenter Weise zu interpretieren. Seine Bemerkungen kombinieren korrekte Zusammenfassungen von Gödels Arbeit mit scheinbar ziemlich konfusen und verworrenen Ideen.“