In seinem Buch My Philosophical Development schreibt Russell:
In meiner Einführung zum Tractatus habe ich vorgeschlagen, dass, obwohl es in jeder Sprache Dinge gibt, die diese Sprache nicht ausdrücken kann, es doch immer möglich ist, eine Sprache höherer Ordnung zu konstruieren, in der diese Dinge gesagt werden können. Es wird in der neuen Sprache immer noch Dinge geben, die sie nicht sagen kann, die aber in der nächsten Sprache gesagt werden können, und so weiter ins Unendliche. Dieser damals neue Vorschlag ist heute ein akzeptierter Gemeinplatz der Logik geworden. Es verfügt über Wittgensteins Mystik und, wie ich glaube, auch über die neueren Rätsel, die Gödel präsentiert.
Eine der relevantesten Referenzen, die ich gefunden habe, ist Druckers Perspectives on the History of Mathematical Logic . Darin habe ich folgende Worte gefunden:
Erinnert sich Russell an seine Verwirrung zu der Zeit, als er zum ersten Mal mit Gödels Theoremen bekannt wurde, oder drückt er seine anhaltende Verwirrung aus? Sagt er, dass er intuitiv die Sinnlosigkeit von Hilberts Schema zum Beweis der Konsistenz der Arithmetik erkannt, aber nicht die Möglichkeit in Betracht gezogen hat, diese Sinnlosigkeit rigoros zu beweisen? Oder offenbart er eine Überzeugung, dass Gödel tatsächlich gezeigt hatte, dass die Arithmetik inkonsistent ist? Zumindest Henkin nahm letzteres an; Als Antwort auf Russells abschließende Bitte versuchte er, die Bedeutung von Gödels zweitem Theorem zu erklären, wobei er den Unterschied zwischen Unvollständigkeit und Widersprüchlichkeit betonte. Schließlich gelangte eine Kopie von Russells Brief zu Gödel, der bemerkte: „Russell offensichtlichinterpretiert mein Ergebnis falsch; er tut dies jedoch auf sehr interessante Weise ....“ (Gödel an Abraham Robinson, 2. Juli 1973.)
Meine Fragen lauten wie folgt,
„Erinnert sich Russell an seine Verwirrung zu der Zeit, als er zum ersten Mal mit Gödels Theoremen bekannt wurde, oder drückt er seine anhaltende Verwirrung aus? Sagt er, dass er intuitiv die Sinnlosigkeit von Hilberts Schema zum Beweis der Konsistenz der Arithmetik erkannt hatte, es aber versäumt hatte Erwägen Sie die Möglichkeit, diese Sinnlosigkeit rigoros zu beweisen? Oder offenbart er eine Überzeugung, dass Gödel tatsächlich gezeigt hatte, dass die Arithmetik inkonsistent ist?
Gödel bemerkte, dass "Russell mein Ergebnis offensichtlich falsch interpretiert; jedoch tut er dies auf sehr interessante Weise ...". Wie kam Gödel zu dem Schluss, dass Russell sein Ergebnis tatsächlich „falsch interpretiert“ hat? Warum war Russells „Fehlinterpretation“ interessant?
Gibt es detaillierte und kritische Berichte über Russells Antwort auf Gödels Unvollständigkeitstheoreme , die (zumindest teilweise) versuchen, diese Fragen zu beantworten?
Irvine schreibt in Bertrand Russell auch, dass „ Russell Gödels berühmte Ergebnisse nicht verstand, die er dahingehend interpretierte, dass Arithmetik inkonsistent ist “. Berto in Gödel Paradox und Wittgensteins Reasons stellt fest, dass sowohl Russell als auch Zermelo Gödels Theorem für ein Paradox hielten, weil sie nicht zwischen Theorie und Metatheorie, Syntax und Semantik unterschieden; argumentiert aber, dass Wittgenstein die Unterscheidung bewusst abgelehnt hat. Wittgenstein selbst widersprach bekanntermaßen Gödels Theorem, und Gödel antwortete ähnlich, dass „ Wittgenstein es nicht verstand (oder vorgab, es nicht zu verstehen) “. Aber die neuere Wissenschaft ist viel nuancierter und sympathisiert mit Wittgensteins Einwänden, sieheMatthíassons Interpretationen von Wittgensteins Bemerkungen über Gödel , Lamperts Wittgensteins „berüchtigter Absatz“ über das Gödel-Theorem , Shankers Gödels Theorem in Focus und Rodychs Wittgenstein über Gödel .
Wir haben viel weniger mit Russell zu tun, aber es gibt auch eine wohltätigere Art, seine Zitate zu lesen, einschließlich der Antworten auf die von Niel de Beaudrap verknüpfte Frage. Und es wird direkt durch die Erwähnung Wittgensteins nahegelegt. Wittgenstein argumentierte im Tractatus , contra Frege, dass es keine Regeln für die Logik geben kann, oder modern ausgedrückt, dass die Sprache ihre eigene Metasprache sein sollte, wie es in der Tat bei natürlichen Sprachen der Fall ist. „ Und was nicht gesagt werden kann, soll mit Schweigen übergangen werden “, was wohl „Wittgensteins Mystik“ ist, die Russell erwähnt. Russell selbst war sich Wittgensteins Position jedoch sehr wohl bewusst, schlug aber stattdessen eine Hierarchie der Sprachen vor. Vielleicht bezieht er sich also eher auf die Inkonsistenz von Wittgensteins Lesart als auf seine eigene.
Über Wittgensteins Konzeption „wahr, aber unbeweisbar“ ist der Satz in der Tat verwirrend. Russell überlegte: „ Ich erkannte natürlich, dass Gödels Arbeit von grundlegender Bedeutung ist, aber ich war verwirrt darüber. Es machte mich froh, dass ich mich nicht mehr mit mathematischer Logik beschäftigte. Wenn eine gegebene Reihe von Axiomen zu einem Widerspruch führt, es ist klar, dass mindestens eines der Axiome falsch sein muss. Gilt das für das Rechnen der Schüler, und wenn ja, können wir irgendetwas glauben, was uns in unserer Jugend beigebracht wurde? Sollen wir glauben, dass 2 + 2 nicht 4 ist? , aber 4.001?Das ist natürlich nicht beabsichtigt". Wenn wir die Negation des Gödel-Satzes zu Peano-Arithmetik Gödels Beweis hinzufügen, ergibt sich vermutlich ein Widerspruch, aber das kann nicht der Fall sein, da der Satz dann beweisbar wäre. Also wäre eines der Axiome, die "falsch sein müssen", eins von „Schüler-Arithmetik" und eindeutig „das ist nicht beabsichtigt". Deshalb brauche man eine „ Sprache höherer Ordnung, in der diese Dinge gesagt werden können ", so Russell. Wenn ja, dann ist Russell voll dabei mit Gödels Trennung von Wahrheit (in Metasprache) und Beweisbarkeit (in Objektsprache).
Offensichtlich ist diese Lesart nicht einfach, und Gödel hielt Russell wahrscheinlich für so etwas wie ein Paradoxon, fand aber die Idee der (heute so genannten) Tarski-Hierarchie "interessant".
Niel de Beaudrap