Nach dem Wenigen, das ich gelesen habe (wie dieser Antwort), scheint es ein Grund zu sein, warum das Programm des Logismus, wie es in den Principia Mathematica dargelegt ist , gescheitert ist, weil seine Ziele (das Finden einer konsistenten und vollständigen Grundlage von Mathematik, indem gezeigt wird, dass sie aus der Logik ableitbar ist), da sie aufgrund von Gödels Unvollständigkeitssätzen als unmöglich gezeigt wurden.
Ich verstehe jedoch immer noch nicht, warum dies den Logicism in einem solchen Ausmaß besiegt, während es dennoch die Verwendung von beispielsweise ZFC ermöglicht. Obwohl ich ein vages Verständnis von diesem Wesen habe, weil den Principia die Unterscheidung zwischen Beweisbarkeit und Wahrheit zu fehlen scheint, wie aus diesem Zitat aus einem Artikel aus dem Bulletin of Symbolic Logic hervorgeht:
"Whitehead und Russell unterscheiden nicht zwischen dem Konzept der Wahrheit und dem der Beweisbarkeit."
Ich kann immer noch nicht genau verstehen, was in dieser fehlenden Unterscheidung den Logikismus so anfällig für die Unvollständigkeitstheoreme macht.
ZFC ist anfällig für Gödels Unvollständigkeit, ebenso wie die Principia Mathematica .
Siehe Gödels Unvollständigkeitssätze für eine Einführung in den Satz:
Jedes konsistente formale System F , innerhalb dessen ein gewisses Maß an elementarer Arithmetik durchgeführt werden kann, ist unvollständig; dh es gibt Aussagen der Sprache von F , die in F weder bewiesen noch widerlegt werden können .
Unter der Annahme der Konsistenz von ZFC gilt der Satz von Gödel darauf.
Der Logikismus war das von Gottlob Frege begonnene Projekt , Arithmetik und Analysis (nicht Geometrie) auf "rein logische" Prinzipien zu gründen.
W&R in ihrem Meisterwerk Principia Mathematica vollendeten das Projekt, versäumten es jedoch, nur "rein logische" Prinzipien zu verwenden , da sie gezwungen waren, das Axiom der Unendlichkeit und das multiplikative Axiom (auch bekannt als: Axiom of Choice ) zu verwenden, deren mathematische Grundlage unbestreitbar war (und sie sind es von ZFC verwendet ), deren "logische" Natur jedoch nicht haltbar war.
Unter der Annahme, dass die Aussage, dass "Whitehead und Russell nicht zwischen dem Konzept der Wahrheit und dem der Beweisbarkeit unterscheiden" (mehr oder weniger) richtig ist, war dies nicht die Quelle des "Versagens" des Logikismus.
Auf jeden Fall muss "Scheitern" mit Vorsicht betrachtet werden... es gibt nichts logisch (und mathematisch) Falsches an den Principia .
Sie können auch den zugehörigen Beitrag sehen: Was haben Whitehead und Russells „Principia Mathematica“ erreicht?