Ich kann die logische Implikation nicht verstehen

Als logischer Satz, der Sachkonditional $A \implies B$ist sehr schwach: Wie Sie bemerkt haben, ist es sehr einfach, es aus Versehen zu befriedigen . Tatsächlich passiert dies immer$A$falsch ist, oder wann immer$B$ist wahr. Also nur das beobachten$A \implies B$, für einige bestimmte$A$Und$B$, sagt sehr wenig.

Die Nützlichkeit der Implikation liegt vielmehr darin, dass sie gerade wegen ihrer Schwäche oft durchgesetzt werden kann $A \implies B$als universelle Aussage (entweder ein Axiom oder ein beweisbares Theorem), die für jede Bewertung aller in den Sätzen erwähnten freien Variablen gilt$A$Und$B$.

Betrachten Sie zum Beispiel die Aussage:

Eine Möglichkeit, die Implikation zu verstehen, besteht darin, sich daran zu erinnern$A\Rightarrow B$ist äquivalent zu$\neg A \lor B$. Wenn Sie die Verneinung verstehen ($\neg$) und Disjunktion ($\lor$), dann verstehen Sie die Implikation.

Ansehen$A$Und$B$als etwas, das entweder falsch oder wahr ist. Lassen Sie zum Beispiel$A$das Ereignis sein, dass morgen Dienstag ist und lassen$B$das Ereignis sein, dass übermorgen Mittwoch ist.

Ansehen

als Versprechen - wenn$A$stimmt dann ist es auch$B$.

In unserem Beispiel, wenn$A$stimmt dann in der Tat so ist$B$und damit die Implikation$A\implies B$ist wahr.

Jetzt aber überlegen$C$wie die Aussage, dass morgen Freitag ist, und ich behaupte

das heißt - das verspreche ich Ihnen, wenn$C$wird so passieren$B$.

Morgen ist nicht Freitag (zum Zeitpunkt des Schreibens) und so$C$ist falsch, egal ob$B$falsch oder wahr ist - mein Versprechen wurde gehalten.

Nun zur Terminologie des Proofings$B$ist beides$A,B$sind wahr. Beachten Sie, dass Aussagen wie

ist wahr, da beide wahr sind, aber was würde es bedeuten zu beweisen$B$aus$A$?

Vielleicht ist es klarer, wenn wir die logische Operatorbedeutung der Implikation von ihrer logischen Aussagebedeutung trennen .

Wenn wir es als logischen Operator verwenden , stellen wir es uns einfach als eine Entität vor, die bei zwei logischen Werten (also wahr oder falsch ) einen dritten logischen Wert erzeugt, wobei eine gemeinsam definierte Regel (seine Wahrheitstabelle) verwendet wird.
Es macht also durchaus Sinn zu sagen$A \implies B = true$Wenn$A = B = true$, und wir kümmern uns nicht darum, was eigentlich vorschlägt$A$Und$B$bedeutet, wir kümmern uns ausschließlich um ihre logischen Werte.

Anders ist es, wenn wir die Implikation als logische Aussage verwenden .
In diesem Fall sagen wir wirklich etwas über die Bedeutung der Sätze aus, die in unserer Aussage enthalten sind. Also, während Vorschlag$A = My\;cat\;is\;black$wahr ist, und Satz$B = I\;am\;hungry$stimmt auch,$A \implies B$ist keine gültige Aussage. Diese Bedeutung ist mit der Mengenlehre und der formalen Logik
verbunden . Die Verwendung von Implikationen in diesem Zusammenhang bedeutet, dass Sie schlussfolgern können$B$aus$A$, in einer Weise , die Modus Ponens genannt wird .

Ich würde sagen, dass$A$wahr sein und$B$wahr zu sein bedeutet nicht, dass man immer beweisen kann (ableiten)$B$aus$A$.

Hier ist ein Beispiel. A: Alice lebt in Atlanta. B: Bob lebt in Boston. Auch wenn beides zutrifft, gibt es keinen (scheinbaren) Zusammenhang. Sie können also nicht logisch ableiten$B$aus$A$wenngleich$A\Rightarrow B$stimmt in diesem Fall.

Ich denke, das bedeutet, dass Sie die Aussage logisch ableiten können$Q$aus Aussage$P$, Dann$P\Rightarrow Q$ist wahr; aber wissen$P\Rightarrow Q$wahr ist, garantiert nicht das Vorhandensein eines Abzugs von$Q$ab Annahme von$P$.

Logische Implikation ist eine definierte logische Verknüpfung, also solange$P$Und$Q$Wahrheitswerte (wahr oder falsch) haben, tut dies auch$P\Rightarrow Q$.

Implikation kann als Denken in NOTWENDIGEN und AUSREICHENDEN Bedingungen verstanden werden. Ein gutes Beispiel ist, an jemanden zu denken, der in Dallas, Texas, geboren wurde.

Proposition P könnte für "Jemand, der in Dallas geboren wurde" stehen

Proposition Q könnte für "Jemand, der Texaner ist" stehen

Wahrheitstabelle für die Implikation ist:

In diesem Beispiel ist es also einfach, die Gültigkeit der obigen Wahrheitstabelle Zeile für Zeile zu überprüfen:

• Wer in Dallas geboren wurde, ist also Texaner; Die erste Implikation ist also WAHR.

• Wer in Dallas geboren wurde, MUSS Texaner sein. Also zu sagen, dass jemand, der in Dallas, im Bundesstaat Texas, geboren wurde und kein Texaner ist, ist FALSCH;

• Zu sagen, wer nicht in Dallas geboren wurde, aber trotzdem Texaner ist (man nehme zum Beispiel jemanden, der in Houston geboren wurde), ist eine WAHRE Aussage;

• Endlich, wer nicht in Dallas geboren wurde UND auch kein Texaner ist, ist auch WAHR.

Das Denken in den Begriffen NOTWENDIG (Texaner zu sein ist eine notwendige Bedingung für Personen, die in Dallas geboren wurden) und AUSREICHEND (in Dallas geboren zu sein ist eine ausreichende Bedingung, um Texaner zu sein) erleichtert den Prozess, Implikationen in natürliche Sprache zu übersetzen.

Andere Beispiele für Sätze, die notwendige und hinreichende Bedingungen enthalten, sind:

• P = Priester sein / Q = an Gott glauben;
• P = Polizist sein / Q = Eine Waffe tragen;
• P = Die Zahl ist durch 4 teilbar / Q = Die Zahl ist gerade.

Das Problem besteht darin, zu verstehen, dass es einen Unterschied gibt zwischen der alltäglichen mathematischen Bedeutung von „impliziert“ – „Ich kann es beweisen (oder jemand kann es)“ – und der formalen logischen Bedeutung, die durch die Wahrheitstabelle ausgedrückt wird. Dies kann helfen: In der klassischen Logik ist warum$(p\Rightarrow q)$Wahr, wenn$p$ist falsch und$q$ist wahr? .

Der Satz$A\implies B$ist kein Satz, in dem es darum geht, irgendetwas zu beweisen. Es ist ein zusammengesetzter Satz, aber ansonsten genau wie die Sätze$A$Und$B$. Für die Wahrheitstabelle muss der zusammengesetzte Satz Wahrheitswerte wie haben$A$Und$B$hat, und es muss von diesen Sätzen Wahrheitswerte abhängen. Die Werte für diesen zusammengesetzten Satz sind dieselben wie für die zusammengesetzte Anweisung$\neg A \vee B$.

So verstehe ich es (ich übernehme keine Garantie dafür, dass dies als korrekte Interpretation angesehen wird).

Der Wahrheitswert einer implizierten Aussage ist grundsätzlich „unschuldig bis bewiesen“ oder „meine Aussage ist wahr, solange die Aussagewerte sie nicht widerlegen“.

Also mit einem Beispiel, Aussagen P und Q, mit der Aussage P impliziert Q. Nehmen wir an, Aussage P ist „ist ein Mann“ und Aussage Q ist „lebt in Japan“, also sagt unsere Implikationsaussage im Grunde „alle Männer leben in Japan“. '.

Die Wahrheitstabelle:

bedeutet im Grunde, dass wir für jedes Beispiel, in dem P und Q wahr sind, unsere Aussage nicht widerlegt haben, dass P -> Q, und für jedes Beispiel, in dem P falsch ist, haben wir unsere Aussage nicht widerlegt, nur wenn wir ein Beispiel dafür haben Da P wahr und Q falsch ist, hat sich unsere Aussage als falsch erwiesen.

Stellen Sie sich also vor, es gibt nur 4 Menschen, wir sehen uns jeden von ihnen an und kategorisieren sie in unserer Wahrheitstabelle. Auf diese Weise können wir herausfinden, ob unsere Aussage, dass P -> Q wahr ist. Wir finden, dass 2 der Leute Männer sind und dass sie in Japan leben, OK, gut, unsere Aussage gilt immer noch, die 3. Person ist eine Frau, es ist uns egal, ob sie in Japan lebt oder nicht, weil in beiden Fällen unsere Aussage über Männer gilt immer noch.

Eine Frau, die in oder außerhalb Japans lebt, hat keinen Einfluss auf die Wahrheit unserer Aussage über Männer, die in Japan leben.

Die 4. Person wird dann entscheiden, ob unsere Aussage wahr ist oder nicht, wenn die 4. Person ein Mann ist, der in Japan lebt, oder eine Frau, dann ist es logischerweise wahr zu sagen, dass ein Mann bedeutet, dass man in Japan lebt.

Warum ist das nützlich? Nun, die Wahrheitstabelle selbst hilft uns nicht, die Wahrheit unserer Aussage zu beweisen, was sie tut, ist klar dargelegt, welche Bedingungen für die Wahrheit unserer Aussage relevant sind - dh dass wir uns nicht um Frauen kümmern, und nur das Ein Mann, der nicht in Japan lebt, wird unsere Aussage verfälschen.

Natürlich könnte man eine Aussage machen wie „Alle grünen Männer leben auf dem Mars“. Dies ist eine wahre Aussage, weil wir nicht überprüfen können, wer auf dem Mars lebt, und wir haben keine Beispiele für grüne Männer. Aber das ist eine sogenannte "leere Wahrheit", sie hat für uns keinen Bezug zur Realität, weil die Aussagen nicht greifbar sind.

Wenn Satz$A$ist wahr und$B$stimmt dann$A\implies B$ist wahr.

Ja. In der weit verbreiteten Mathematik und Logik,$A\implies B$ist äquivalent zu$\neg[A\land\neg B]$.

Also, wenn$A$ist wahr und$B$stimmt dann$\neg[A\land\neg B]$und daher$A\implies B$wird auch stimmen.

Bedeutet das, wenn$A$Und$B$beide wahr sind, dann gibt es eine Möglichkeit zu beweisen$B$stimmt ab$A$, stets?

Ja. Hier ist ein formaler Beweis mit einer Form der natürlichen Deduktion:

Dasselbe gilt für wenn$A$falsch ist, können Sie daraus etwas entweder Wahres oder Falsches beweisen$A$?

Ja. Hier ein formaler Beweis:

Dass das Obige kontraintuitiv erscheinen mag, mag darauf zurückzuführen sein, dass Implikation oft mit zeitlichen Vorstellungen von Kausalität verwechselt wird. Die Aussage „Wenn es regnet, dann ist es bewölkt“ bedeutet nicht, dass Regen immer Bewölkung verursacht oder dass Bewölkung immer Regen verursacht. Es bedeutet nur, dass es zu einem bestimmten Zeitpunkt (normalerweise der Gegenwart) nicht der Fall ist, dass es sowohl regnet als auch nicht bewölkt ist.

Diese Illustration der logischen Implikation könnte helfen:

a) Wenn Sie die logische Implikation wirklich verstehen,
b) dann werden Sie ein glücklicher Mensch sein.

Sie können aus anderen Gründen ein glücklicher Mensch sein. Aber wenn Sie unglücklich sind, dann verstehen Sie die logische Implikation sicherlich nicht wirklich. :-)

Wahrheitstabelle:
aba⇒b
FFT
FTT
TFF
TTT

Ich hoffe, dieses etwas intuitive Beispiel hilft.