In Bezug auf die gesamte kinetische Rotationsenergie

Obwohl es sich hier um einen starren Körper handelt, können Sie ihn nicht verwenden$KE_{TOT} = \frac{1}{2}M{v^2}_{cm}+\frac{1}{2}I\omega ^2$weil die Teilchen näher an der größeren Achse (Radius$R$) bewegen sich langsamer als die weit entfernten. Also müssen wir KE_TOT finden als:

$KE_{TOT} = \frac{1}{2}I_o{\omega_o}^2 + \frac{1}{2}I_p{\omega_p}^2$........(1)

Das Trägheitsmoment der Kugel über$O$Ist$\frac{2}{5}Mr^2 + MR^2$Und$\omega_o$Ist$\frac{V}{R}$

Trägheitsmoment ca$P$Ist$\frac{2}{5}Mr^2$Und$\omega_p$Ist$\frac{V}{r}$

Ersetzen in (1)

$KE_{TOT}$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}Mr^2 + MR^2 \right) {\left(\frac{v}{R}\right)} ^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}Mr^2\right ) {\left(\frac{v}{r}\right )}^2$

$=\frac{7}{10}Mv^2 + \frac{1}{5}\frac{r^2}{R^2}v^2$

was das richtige Ergebnis ist.

Kinetische Energie gleich$\frac{1}{2}mV^2$, gilt im Allgemeinen nicht für Körper mit endlichen Abmessungen in nicht geradliniger Bewegung. Verwenden Sie den Parallelachsensatz, um zu finden$K.E.$für die Revolution der Sphäre. Wenn die Kugel jedoch eine Punktgröße hatte, denke ich, dass Ihr Punkt gültig ist.

Schönes Problem!

Beachten Sie, dass die Winkelgeschwindigkeit der Kugel NICHT ist$V/r$. Es gibt eine entlang der vertikalen Achse gerichtete Komponente der Winkelgeschwindigkeit.

Stellen Sie sich ein anderes, einfacheres Problem vor. Es ist fast dasselbe, aber die Kugel rollt nicht auf einem Tisch. Es gleitet daran entlang.

Seine kinetische Energie wäre es nicht$V^2/R$. Denn die Kugel dreht sich tatsächlich - Sie werden es sehen, wenn Sie die Kugel von oben betrachten!

AKTUALISIEREN.

Formel$E=mv^2 + I\omega^2/2$(Wo$v$ist die Schwerpunktsgeschwindigkeit) richtig ist. Bei diesem speziellen Problem ist es sehr leicht, einen Fehler bei der Berechnung der Winkelgeschwindigkeit zu machen$\omega$und so eine falsche endgültige Antwort erhalten.

Sieht aus wie die Rotationsachse der Kugel in jedem Moment$OP$- die Linie, die über geht$O$und Mittelpunkt der Kugel$P$. Aber das ist nicht wirklich so!

Im Bezugssystem, das sich nicht dreht, aber mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt$\vec{v}$wie der Schwerpunkt, die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes des Körpers ist$\vec{v}(\vec{r}) = [\vec{w}*\vec{r}$] , Wo$\vec{r}$ist ein Vektor vom Massenmittelpunkt zu unserem Körperpunkt. Für alle Punkte entlang der Rotationsachse ist diese Geschwindigkeit Null.

Im ursprünglichen Bezugsrahmen sollten alle diese Punkte die gleiche Geschwindigkeit haben (wie die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts).

Aber eindeutig die Geschwindigkeiten verschiedener Kugelpunkte, die sich entlang der Achse befinden$OP$sind anders - weiter aus$O$, größer die Geschwindigkeit. So,$OP$ist nicht die Rotationsachse der Kugel!

Nun, wenn Sie in den Bezugsrahmen kommen, der sich um den Punkt dreht$O$mit Winkelgeschwindigkeit$W=V/R$die Geschwindigkeit von jedem Punkt entlang der$OP$wäre null. Dies wäre die Rotationsachse der Kugel, und in diesem Bezugssystem wäre die Winkelgeschwindigkeit der Kugel tatsächlich$V/r$. Und um die Winkelgeschwindigkeit im ursprünglichen Bezugssystem zu finden, müssen Sie addieren$\vec{w}$Und$\vec{W}$- aber denken Sie daran, dass beide Vektoren sind und Sie sie als Vektoren hinzufügen sollten!