In ein Dreieck ist ein Kreis mit dem Radius rrr eingeschrieben.

Betrachten Sie das Dreieck ABC, A als obere Ecke, B rechts und C links. Lassen Sie uns die Höhen als bezeichnen$h_a$,$h_b$Und$h_c$, und die Radien von Kreisen$r_a=1$,$r_b=2$Und$r_c=3$und unbekannter Radius als$r$. Die Dreiecke, die durch Tangenten an Kreise und parallel zu Basen erstellt werden, ähneln dem Hauptdreieck, lassen Sie uns die Höhen dieser Dreiecke nicht als bezeichnen$h'_a$.$h'_b$Und$h'_c$; wir dürfen schreiben:

$\frac{r_a}{r}=\frac{h'_a}{h_a}$

$h_a=2r+h'_a$.

Deshalb:

$h_a=2r+\frac{r_ah_a}{r}$

Was gibt:

$2r^2-rh_a +h_a=0$

Analog erhalten wir:

$2r^2-rh_b +2h_b=0$

$2r^2-rh_c +3h_c=0$

Nun wir diese Aussage: Wenn drei Senkrechte von einem Punkt innerhalb eines Dreiecks auf die Seiten fallen (hier die Radien des Kreises r), haben wir:

$\frac{r}{h_a} +\frac{r}{h_b}+\frac{r}{h_c}=1$

Jetzt haben wir ein System von vier Gleichungen für vier Unbekannte$h_a,. h_b,.h_c$Und$r$. Wenn Sie dieses System lösen, erhalten Sie r. Wolfram alpha gibt$r=6, h_a=14.5, h_b=18, h_c=24$. Wenn wir den verallgemeinerten Satz von Descartes verwenden und die Seiten von Dreieckskreisen mit Radius unendlich annehmen, wo$k_s=\frac{1}{∞}=0$wird die Krümmung der Seiten sein, die wir haben:

$(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+0+\frac{1}{r})^2=2(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+0+\frac{1}{r^2})$

Es ergibt sich schließlich:

$23 r^2+132r-36=0$

Was gibt$r=6$

Lassen$|CE|=H_c$Und$|CD|=h_c$seien die Höhen ähnlicher Dreiecke$\triangle ABC$Und$\triangle A_cB_cC$. Dann

$$\begin{align} \frac{|CD|}{r_c} &= \frac{|CE|}{r} \tag{1}\label{1} ,\\ \frac{H_c-2r}{r_c} &= \frac{H_c}{r} \tag{2}\label{2} ,\\ H_c &= \frac{2r^2}{r-r_c} \tag{3}\label{3} . \end{align}$$

Ebenso zwei weitere Höhen von$\triangle ABC$bezüglich$r,r_a,r_b$Sind

$$\begin{align} H_a &= \frac{2r^2}{r-r_a} \tag{4}\label{4} ,\\ H_b &= \frac{2r^2}{r-r_b} \tag{5}\label{5} , \end{align}$$

und wir können eine wohlbekannte Beziehung anwenden

$$\begin{align} \frac1r&= \frac1{H_a}+\frac1{H_b}+\frac1{H_c} \tag{6}\label{6} \end{align}$$

um das herauszufinden$r$bezüglich$r_a,r_b,r_c$ist nur

$$\begin{align} r&=r_a+r_b+r_c \tag{7}\label{7} . \end{align}$$

Die ursprüngliche Frage wäre jetzt gelöst, aber wir können noch mehr: Wir können die vollständig lösen$\triangle ABC$.

Unter Verwendung der bekannten Heron-ähnlichen Formel für das Gebiet haben wir

$$\begin{align} S&= \frac1{\sqrt{ {(\tfrac1{H_a}+\tfrac1{H_b}+\tfrac1{H_c})} {(-\tfrac1{H_a}+\tfrac1{H_b}+\tfrac1{H_c})} {(\tfrac1{H_a}-\tfrac1{H_b}+\tfrac1{H_c})} {(\tfrac1{H_a}+\tfrac1{H_b}-\tfrac1{H_c})} }} \\ &=\frac{r^{7/2}}{\sqrt{r_a r_b r_c}} \tag{8}\label{8} . \end{align}$$

Als nächstes können wir den Halbumfang finden$\rho$und Umkreis$R$von$\triangle ABC$:

$$\begin{align} \rho&=\frac Sr =\frac{r^{5/2}}{\sqrt{r_a r_b r_c}} \tag{9}\label{9} ,\\ R&= \frac{2\,S^2}{H_a H_b H_c} =\tfrac14\,\frac{r(r-r_a)(r-r_b)(r-r_c)}{r_a r_b r_c} \tag{10}\label{10} . \end{align}$$

Jetzt sind wir bereit, die drei Seitenlängen von zu finden$\triangle ABC$als die Wurzeln der kubischen Gleichung in Bezug auf$\rho,r,R$:

$$\begin{align} x^3-2\rho\,x^2+(\rho^2+r^2+4\,r\,R)\,x-4\,\rho\,r\,R&=0 \tag{11}\label{11} . \end{align}$$

Insbesondere z$r_a=1,\ r_b=2,\ r_c=3$wir haben

$$\begin{align} r&=6 ,\quad S=216 ,\quad \rho=36 ,\quad R=15 \tag{12}\label{12} , \end{align}$$

$\eqref{11}$wird

$$\begin{align} x^3-72\,x^2+1692\,x-12960&=0 \tag{13}\label{13} \end{align}$$

mit drei Wurzeln$\{18,\, 24,\, 30\}$, das heißt, das gesuchte Dreieck ist das berühmte$3-4-5$rechtwinkliges Dreieck, skaliert um$6$.

Beachten Sie, dass die Seitenlängen umgekehrt proportional zu den entsprechenden Radien von Inkreisen sind.

Als weiteres Beispiel zeigt das Bild eine Lösung für$r_a=7,\ r_b=5,\ r_c=3$. In diesem Fall haben wir$r=15$und die Seitenlängen sind

$$\begin{align} a&=\tfrac{120\sqrt7}7 ,\quad b=\tfrac{150\sqrt7}7 ,\quad c=\tfrac{180\sqrt7}7 \tag{14}\label{14} . \end{align}$$

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Tatsächlich Lösung der kubischen Gleichung$\eqref{11}$ist unnötig: da die Fläche und die Höhen bekannt sind, können die Seitenlängen explizit als gefunden werden

$$\begin{align} a&=r\,(r-r_a)\,\sqrt{\frac{r}{r_a\,r_b\,r_c}} \tag{15}\label{15} ,\\ b&=r\,(r-r_b)\,\sqrt{\frac{r}{r_a\,r_b\,r_c}} \tag{16}\label{16} ,\\ c&=r\,(r-r_c)\,\sqrt{\frac{r}{r_a\,r_b\,r_c}} \tag{17}\label{17} . \end{align}$$