Intuition - warum hängt die Periode bei einem Pendel nicht von der Amplitude ab?

Je höher Sie sind, desto größer sind die maximale Geschwindigkeit und die maximale potenzielle Energie.

Stellen Sie sich ein Pendel vor, das höher angehoben wird als eine Sekunde, die beide gleichzeitig losgelassen werden. Wenn das höhere Pendel den Startpunkt der Sekunde erreicht, hat es bereits eine Geschwindigkeit größer als 0.

Diese höhere Geschwindigkeit ermöglicht es dem höheren Pendel, seinen Schwung in der gleichen Zeit abzuschließen wie das niedrigere, obwohl es einen längeren Weg hat.

Da ich jetzt an einem Computer sitze, werde ich einen Großteil dessen ansprechen, was in den Kommentaren gesagt wird. Für den Anfang gilt dies nicht genau für das Pendel; nur ungefähr , und die Annäherung wird schlechter als$\theta$steigt.

Eine gute Möglichkeit, dies zu visualisieren, ist die Tautochrone-Kurve , eine reibungslose Kurve, bei der die Fallzeit für alle Höhen gleich ist (dies entspricht einer Pendelperiode, wenn Sie den Rückschwung ignorieren oder zwei dieser Kurven spiegeln). ; was ein perfektes Spiegelbild des Frontschwungs sein wird, wenn Energie im System gespart wird).

In diesem Szenario funktionieren die Beschleunigungen perfekt (bei gleicher Schwerkraft), sodass sie alle gleichzeitig eintreffen. Dies ist anders als bei der kreisförmigen Bewegung, die nur für kleine Winkel ungefähr richtig ist. Das Interessante ist, dass man sich eine kleine Verschiebung einer tautochronen Kurve ansieht; Es sieht ungefähr kreisförmig aus, wenn Sie nur einen kleinen Abschnitt in der Nähe des Bodens betrachten. So lässt sich anschaulich erklären, warum ein Kreispendel bei kleinen Winkeln näherungsweise dieses Verhalten zeigt.

(Henning erwähnte in seiner Antwort auch eine tautochrone Kurve. Es schien ein geeigneter Weg zu sein, um mehr Intuition hinzuzufügen.)

Handgewellte Intuition: Angenommen, wir kennen uns mit Pendeln nicht aus, wollen aber eine eindimensionale Bahn konstruieren , so dass eine auf diese Bahn beschränkte Punktmasse mit unterschiedlichen Amplituden, aber konstanter Periode um einen Tiefpunkt schwingen kann.

Wir tun dies von unten nach oben – stellen Sie sich also vor, dass wir den Pfad aus einer Höhe von konstruiert haben$h_1$bis zu$0$und zurück zu$h_1$auf der anderen Seite. Jetzt wollen wir das auf eine etwas höhere Höhe ausdehnen$h_2$.

Wenn wir unsere Punktmasse bei freigeben$h_2$, können wir berechnen, wie hoch seine kinetische Energie (und damit seine Geschwindigkeit) in jeder Höhe sein wird, also können wir (zumindest im Prinzip) berechnen, wie lange es dauert, um das bereits Gemachte zu passieren$h_1$-zu-$h_1$Segment. Dies ist weniger Zeit als unser gewünschter Zeitraum, und die Hälfte der verbleibenden Zeit wird die Zeit sein, die die Punktmasse brauchen sollte, um sich zu bewegen$h_2$zu$h_1$. Wenn das ausreichend Zeit ist (d. h. länger, als die Masse brauchen würde, um direkt nach unten zu fallen$h_2$zu$h_1$), können wir anpassen, wie lange es dauert, indem wir einfach den Abschnitt von machen$h_2$zu$h_1$eine entsprechend schiefe Ebene.

Diesen Prozess an die Grenze zu bringen (wobei$h_2$ist nur unendlich viel höher als$h_1$) erhalten wir eine schreckliche Differentialgleichung mit kontinuierlicher Verzögerung, die ich weder im Detail herleiten noch lösen möchte - aber Huygens tat es 1659 und fand heraus, dass die Lösung eine invertierte Zykloide ist .

Wenn wir also einen Bob haben, der reibungsfrei entlang einer Zykloide gleitet, hat er tatsächlich für jede Amplitude die gleiche Periode.

Ein Pendel schwingt natürlich eher in einem Kreis als in einer Zykloide – aber die Zykloide erweist sich an der Unterseite als glatt genug (mit einer Krümmung ungleich Null, aber endlich), dass sie durch einen Kreis angenähert werden kann. Diese Annäherung ist gut genug, um den Periodenunterschied zwischen Kreis und Zykloide zu übergehen$0$wie die Amplitude geht$0$.

Für kleine Winkelverschiebungen ist die Differentialgleichung des Pendels effektiv linear und als solche muss die Amplitude der Schwingung unabhängig von der Periode sein. Wieso den?

Für ein lineares System, wenn$x_1(t)$und$x_2(t)$sind dann zwei unabhängige Lösungen$x_3(t) = a_1x_1(t) + a_2x_2(t)$auch eine Lösung ist ( Superpositionseigenschaft ).

Und so, wenn ein linearisiertes Pendel eine sinusförmige Lösung hat$x_1(t) = \cos(\omega_0 t + \phi_0)$, dann$A\cos(\omega_0 t + \phi_0)$ist auch eine Lösung durch die Superpositionseigenschaft.

Hier ist eine intuitive und nicht strenge Antwort.

Aus der Energieerhaltung können Sie ableiten, dass sich das Pendel langsamer bewegt, wenn es eine kleinere Amplitude hat, da es eine kleinere Höhenänderung und damit eine kleinere Änderung der kinetischen Energie hat.

Bei kleineren Amplituden muss das Pendel nicht so weit schwingen, um einen vollständigen Schwung zu vollenden, aber es bewegt sich auch langsamer. Die beiden Effekte heben sich gegenseitig auf (zumindest wenn die Schwingungsamplitude nicht zu groß ist).

Die kurze Antwort ist, dass eine periodische Funktion immer noch dieselbe Periode hat, wenn Sie sie skalieren, also hat eine lineare Differentialgleichung mit Lösungen einer bestimmten Periode solche Lösungen bei jeder Amplitude. Der Winkel$\theta$eines Pendels aus der Vertikalen genügt$\ddot{\theta}=-\frac{g}{l}\sin\theta$, aber für kleine Winkel können wir ersetzen$\sin\theta$mit$\theta$, was eine ungefähr lineare Bewegungsgleichung ergibt.

Sie können sagen, dass dies daran liegt, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit (im RMS - Sinn) auf die gleiche Weise skaliert wie die Verschiebung: Verdoppeln Sie die Amplitude, und die RMS-Geschwindigkeit verdoppelt sich ebenfalls. (Zumindest in erster Näherung.)

Warum sollte das sein? Nun, das liegt daran, dass die durchschnittliche Beschleunigung auch proportional skaliert, da dies einfach von der Kraft abhängt . Das Besondere am harmonischen Oszillator ist, dass die Kraft linear vom Weg abhängt.

Ein möglicher Ansatz, um zu erklären, warum die Periode mit dem anfänglichen Winkelstartpunkt zunimmt, besteht darin, sich ein Pendel vorzustellen, bei dem die Saite aus gespanntem Draht besteht. Stellen Sie sich vor, Sie stellen den Anfangswinkel exakt ein$\pi$Radiant. In diesem Fall befindet sich das Pendel im exakten Gleichgewicht und man kann dann sagen, dass die Periode unendlich ist. Nun würden Sie erwarten, dass die Beziehung zwischen der Periode und dem Startwinkel monoton ist, und da sie für kleine Winkel klein beginnt, wenn die Periode von etwas Kleinem auf unendlich zunimmt, würden Sie bei dazwischen liegenden Startwinkeln erwarten, dass dies der Fall ist Periode, um größer zu werden, wenn der Startwinkel zunimmt.

Für ausreichend kleine Winkel ist diese monotone Funktion vermutlich flach, was bedeutet, dass die Periode ungefähr unabhängig vom anfänglichen Startwinkel ist.

Je größer der Schwung, desto vertikaler ist der Winkel, in dem der Pendelbob zu fallen beginnt, desto schneller beschleunigt er am Anfang und die Geschwindigkeitssteigerung gleicht die längere Schwunglänge genau aus.

Lesen Sie einfach Enns Antwort ausführlicher, und meine Antwort ist mehr oder weniger eine intuitivere Darstellung seiner. Die beste Antwort ist, seine und meine zu kombinieren: größere Beschleunigung beim Start aufgrund des größeren Winkels und größere Fallstrecke, daher schnellere Bewegung.

Ich habe diese Antwort als Antwort auf diese Frage geschrieben , aber da sie als Duplikat markiert wurde, füge ich die Antworten hier hinzu.

Das Wichtigste ist, dass die Beschleunigung (und damit die Kraft) proportional zur Verschiebung von einem festen Punkt ist.

Angenommen, wir beginnen mit einer Verschiebung von$A$aus einer festen Position mit dem Objekt in Ruhe.
Die Beschleunigung des Objekts an dieser Stelle sei$KA$wo$K$ist eine Konstante, die wäre$\dfrac{\text{spring constant}}{\text{mass}}$für ein Feder-Masse-System oder etwas Äquivalentes für ein einfaches Pendel.

Darunter befindet sich ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, um die Bewegung des Objekts zu veranschaulichen$\rm time = 0$zu${\rm time} = 2 \Delta t$.

Im ersten Intervall beträgt die Beschleunigung ca$KA$die Geschwindigkeitsänderung ist$KA\Delta t$und die Verschiebung des Objekts ist ungefähr$\frac 1 2 KA \Delta t^2$.

Im zweiten Intervall beträgt die Beschleunigung ca$K(A-\dfrac 12 KA \Delta t^2)$die Geschwindigkeitsänderung ist$K(A-\dfrac 12 KA \Delta t^2)\Delta t$und die Verschiebung des Objekts ist ungefähr$\frac 1 2 K(3A-\frac 12 KA\Delta t^2 )\Delta t^2$.

Man könnte fortfahren, aber das Schlüsselmerkmal ist bereits da.

Bemerken, dass$K$eine Konstante der Bewegung ist, ist die Verschiebung in jedem aufeinanderfolgenden Zeitintervall proportional zur anfänglichen Verschiebung$A$das ist die Amplitude der Bewegung.

Wenn sich die Amplitude verdoppelt, würde sich auch die in einer bestimmten Zeit zurückgelegte Strecke verdoppeln.

Somit hängt die Periode der Bewegung nicht von der Amplitude ab.

Diese Analyse zeigt, dass, damit die Amplitude der gemeinsame Faktor bei aufeinanderfolgenden Verschiebungen ist, eine lineare Beziehung zwischen der Beschleunigung und der Verschiebung bestehen muss.