Ist die Periode eines harmonischen Oszillators wirklich amplitudenunabhängig?

Angenommen, wir haben einen harmonischen Oszillator, der der Kraftregel gehorcht:

$$F=-kx$$ Damit lautet die Bewegungsgleichung: $$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$$ was analytisch gelöst werden kann als: $$x(t)=x(0)\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+\frac{\dot{x}(0)}{\sqrt{\frac{k}{m}}}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)$$ woraus klar ist, dass die Periode seiner zeitlichen Schwingung gegeben ist durch$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$. Nun, so wie ich den Begriff "Amplitude" verstehe, bezieht er sich auf die maximale Verschiebung des harmonischen Oszillators aus seiner Gleichgewichtsposition, die in diesem Fall einfach der Ursprung der ist$x$-Achse. Daraus folgt die Einstellung$\dot{x}(t):=0$, Finden des Wertes von$t$das dies erfüllt (es gibt unendlich viele, aber wir brauchen nur einen), und dann diesen Wert von einstecken$t$in die Funktion$x(t)$, sollte ich die Amplitude der Schwingung erhalten. Wenn wir das besonders nennen$t$-Wert$t=t^*$, hier bekomme ich: $$x(t^*)=\frac{x(0)|x(0)|\sqrt{\frac{k}{m}}+\dot{x}(0)|\dot{x}(0)|\sqrt\frac{m}{k}}{\sqrt{\dot{x}(0)^2+x(0)^2\frac{k}{m}}}=A$$ Wo$A$steht für Amplitude. Aber wenn Sie die Substitution vornehmen$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$wo immer Sie in diesem Ausdruck können, dann können Sie das überprüfen$\frac{\partial{A}}{\partial{T}}\neq{0}$, und daher scheint die Aussage "Periode ist unabhängig von der Amplitude" (auch bekannt als Eigenschaft der Isochronie) falsch zu sein? Eine Möglichkeit, diese Aussage richtig zu machen, besteht darin, anzunehmen, dass der harmonische Oszillator im Ruhezustand beginnt (dh$\dot{x}(0)=0$), aber ich bin mir nicht sicher, ob die Leute nur gemeint haben, dass dieser Ausdruck auf diese Ausgangssituation zutrifft, oder ob er eine allgemeinere Anwendbarkeit haben sollte.