Warum ist die Zeitdauer der Federblockierung unabhängig vom Anfangsimpuls/der Energie, die dem System zugeführt wird?

Ich meine, wenn Sie eine Feder eher zusammendrücken, als würden Sie sie mehr hineindrücken, dann hätte sie mehr Weg zurückzulegen und benötigt daher mehr Zeit

Intuitiv können Sie sich das so vorstellen: Wenn Sie eine Feder stärker zusammendrücken und dann loslassen, ist die Kraft auf den Block durch die Feder größer. Daher ist seine Beschleunigung (avg) schneller, wodurch er in der gleichen Zeit mehr Distanz zurücklegen kann.

Eine analytische Erklärung mit klassischer Mechanik mag für manche nützlich sein

$$\begin{array}{l} T = \frac{1}{2}m{{\dot x}^2}{\rm{ (kinetic)}}\\ V = \frac{1}{2}k{x^2}{\rm{ (potential)}} \end{array}$$

Lagrangescher Ansatz

$$\begin{array}{l} L = T - V\\ \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}} \right) - \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = 0\\ \ddot x = - \frac{k}{m}x\\ x = A\cos \left( {\omega t} \right) \end{array}$$

Dies würde mir sagen, dass die Lösung periodisch ist und dass die Periode nicht von den Anfangsbedingungen abhängt.

Hamiltonscher Ansatz

$$\begin{array}{l} H\left( {x,{p_x}} \right) = T + V\\ {p_x} = \frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} = m\dot x\\ H = \left( {\frac{1}{{2m}}} \right)p_x^2 + \left( {\frac{1}{2}k} \right){x^2}\\ \dot x = \frac{{\partial H}}{{\partial {p_x}}} = ...\\ {{\dot p}_x} = - \frac{{\partial H}}{{\partial x}} = ... \end{array}$$

Daraus würde klar werden, dass die Bewegung der Feder im Phasenraum eine Kreisbewegung ist, weil H konstant ist. Wenn p die y-Achse und x die x-Achse ist, kannst du dir diese Kreisbewegung vorstellen. Sie werden anhand der Bewegungsgleichungen feststellen, dass die Tangentialgeschwindigkeit auf diesem Kreis linear davon abhängt, wie viel Impuls Sie ihm geben. Wenn Sie ihm mehr Schwung geben, wird die Tangentialgeschwindigkeit größer, aber die Winkelgeschwindigkeit bleibt unverändert.

Wenn Sie weitere Überzeugungsarbeit benötigen, können Sie dies mithilfe der Zeitentwicklung leicht selbst modellieren

$$\left( {x,{p_x}} \right) \to \left( {x + \tau \frac{{\partial H}}{{\partial {p_x}}},p - \tau \frac{{\partial H}}{{\partial x}}} \right)$$

Dies sollte Ihnen mindestens drei gültige intuitive Gründe liefern, warum die Anfangsbedingung (z. B. Momentum) die Periode nicht ändern würde.

Aus dem Federkraftgesetz folgt:$F = kx$, oder$a = (k/m)x$. Der wichtige Punkt ist, dass die Beschleunigung proportional zum Abstand vom Zentrum ist.

Sie sind sich bewusst, dass eine Lösung der Gleichung ist$x = A_1sin(t/T)$

Also warum ist$x = A_2sin(t/T)$auch eine Lösung?

Physiker werden antworten, weil beide lösen$F = kx$. Das ist richtig, aber es gibt keinen physikalischen Einblick. Im Allgemeinen denken Physiker so, weil man mit Gleichungen weiter kommt als mit physikalischen Einsichten. Besonders wenn die Physik kontraintuitiv und hochgradig abstrakt wird. Aber Einsicht ist hilfreich, wenn man sie bekommen kann.

Hier können wir es bekommen. Betrachten wir das konkrete Beispiel wo$A_2 = 2A_1$. Lösung 2 ist zu jedem Zeitpunkt doppelt so weit vom Zentrum entfernt wie Lösung 1. Das Federgesetz sagt uns, dass die Kraft, die die Masse zum Zentrum zieht, doppelt so groß ist.

Sie wissen auch, dass die Geschwindigkeit ist$x = (A_{1 or 2}/T)cos(t/T)$. Die Geschwindigkeit von Lösung 2 ist zu jedem Zeitpunkt doppelt so groß wie die von Lösung 1. Dies sollte keine Überraschung sein. Für ein kurzes Zeitintervall$\Delta t$,$\Delta v = a \Delta T$. Ab$v=0$an einem Peak, kurze Zeit später, hat Lösung 2 die doppelte Geschwindigkeit von Lösung 1. Nach einer weiteren kurzen Zeit hat Lösung 2 doppelt so viel Geschwindigkeit gewonnen wie Lösung 1.

In einem Zyklus legt die Masse in Lösung 2 also doppelt so weit mit doppelter Geschwindigkeit zurück. Es sollte nicht überraschen, dass dies genauso lange dauert.

Grob gesagt ist der Grund, warum die Zeitspanne eines Feder-Block-Systems unabhängig von der anfänglichen Verschiebung ist, dass, wenn die Verschiebung groß ist, obwohl der Block eine größere Distanz zurücklegen muss, um die Gleichgewichtsposition zu erreichen, die Kraft mit mehr Verschiebung größer wird ( und damit die Beschleunigung) so, dass der Block in der Lage ist, die Schwingung mit der gleichen Zeitdauer wie bei geringer Verschiebung abzuschließen.

Notiere dass der$\frac{1}{2}kx^2$Potenzial ist in dieser Hinsicht etwas ganz Besonderes. Wenn das Potenzial war$\frac{1}{2}kx^4$, zum Beispiel würde die Zeitspanne tatsächlich mit der Amplitude abnehmen, weil die Kraft bei geringen Verschiebungen so gering wäre (da die Steigung des Potenzials fast Null ist), dass es tatsächlich länger dauern würde, eine Schwingung abzuschließen, obwohl weniger Weg zurückgelegt werden muss .