Warum wirkt sich die Masse des Bobs nicht auf den Zeitraum aus?

Aus dem gleichen Grund fallen Objekte unterschiedlicher Masse mit der gleichen Beschleunigung (unter Vernachlässigung des Luftwiderstands): weil die Kraft proportional zur Masse und die Beschleunigung umgekehrt proportional zur Masse ist.

Wenn wir den fallenden Fall ausführen, um zu vermeiden, dass wir uns mit den Vektoren im Pendel befassen müssen, erhalten wir

Wo$M$ist die Masse des Planeten,$m$ist die Masse des Objekts, das Sie fallen lassen, und$r$ist der Radius des Planeten.

Die Masse des Nebenkörpers fällt aus der Kinematik heraus.

Dasselbe passiert im Fall des Pendels: Die Kraft enthält einen Faktor von$m$, aber die Beschleunigung nicht.

Eine sehr lockere Antwort wäre, dass die Zeitspanne tatsächlich von der Winkelbeschleunigung und nicht vom Drehmoment abhängt .

Genauso wie die Zeit, die ein Objekt braucht, um durch eine Höhe von zu fallen$h$, hängt von der Erdbeschleunigung und nicht von der Masse ab, dh wenn Sie einen Schwammball fallen lassen oder selbst springen, werden Sie beide Höhe überwinden$h$gleichzeitig (natürlich unter Vernachlässigung des Luftwiderstands).

Ebenso hängt die Zeitdauer eines Pendels nicht von der Masse bzw. Trägheit des Pendels ab, sondern nur von der Winkelbeschleunigung durch die Erdanziehungskraft.

Jetzt könnten Sie fragen, dass es in diesem Fall auch nicht auf die Länge ankommen soll, aber der Begriff der Länge kommt, wenn Sie die Winkelbeschleunigung aufgrund der Erdbeschleunigung berechnen.

Ein Pendel in einem Gravitationsfeld erfährt ein momentanes Drehmoment um seinen Drehpunkt

Für die Zwecke dieser Antwort

• $m$ist die Pendelmasse,
• $M_E$ist die Masse der Erde,
• $R_E$ist der Abstand vom Gravitationszentrum der Erde zum Massenschwerpunkt des Pendels in Ruhe, und
• $h=r(1-\cos\theta)$ist die Höhe des CoM, wenn das Pendel schwingt.

Nehmen wir an, das Pendel schwingt in einer Ebene, damit wir schreiben können

$\mathcal{I}$ist das Trägheitsmoment des Pendels um den Drehpunkt und hat die Form von$mb^2$, Wo$b$ist ein geometrischer Größen- und Massenverteilungsfaktor. Jedes starre Objekt, das Sie betrachten möchten, kann sein Trägheitsmoment in diese Form bringen. Daraus sehen wir schnell, dass die tatsächliche Masse des Objekts verschwindet:

Alles, was bleibt, ist zu finden$b$was nur davon abhängt, wie die Masse verteilt ist, nicht wie viel Masse vorhanden ist.

Wir sehen auch, dass dies keine einfache harmonische Bewegung ist. Während der Faktor$g$ist nicht konstant, es führt nur einen anharmonischen Faktor von ein

Wir sehen also, dass 1) die Masse keine Rolle spielt, aber die Verteilung der Masse, 2) die Variation der Höhe, die eine Variation des Gravitationsfeldes erzeugt, nur a hat$(r/R_E)\theta^2$beeinflussen, 3) die Amplitude des Winkels aufgrund der$\sin\theta$Begriff wird wichtig, wenn$\theta > 0.1$Bogenmaß.

Unter Berücksichtigung von Punkt 2) haben die meisten Pendel$r<10 m$Und$R_E = 6.38\times 10^6$M.

Nun, der einfache Weg ist, dass die Masse einen entgegengesetzten Effekt hat, wenn der Bob auf der anderen Seite wieder nach oben geht. Die Verzögerung und die Beschleunigung gleichen sich aus, sodass die Periode immer gleich ist, unabhängig von der Masse, die Sie haben.

       O
      /I\
     / I \
    /  I  \
    0  0   0
 A     C     B

Hier haben Sie ein Diagramm, um es darzustellen. Sie lassen das Pendel bei B fallen und es beschleunigt, bis es C trifft, dann wird es langsamer. Die Masse erhöht die Verzögerung. Beschleunigung und Verzögerung gleichen sich also an.

NEIN!!! Das ist falsch. Zugegeben, die Pendelformel (T = 2 * pi * sqrt(L / g)) berücksichtigt nicht die Masse des Bobs, geschweige denn das Pendel, die Masse kann und wird die Pendelperiode beeinflussen. Die Pendelformel ist genau und ich gebe ihr Anerkennung, aber ihre Variablen sind weit gefasst. T repräsentiert die Zeit oder Periode und g repräsentiert die Erdbeschleunigung. Damit habe ich kein Problem, aber L stört mich. Die Annahme, dass L der Abstand vom Achsenpunkt zur unteren Spitze des Pendels ist, bedeutet, dass das Pendel überall eine gleiche Dichte hat und sein Schwerpunkt direkt in der Mitte des Pendels liegt. Bei den meisten Pendeln ist dies jedoch nicht der Fall. Der Bob oder das Gewicht auf dem Pendel beeinflusst die Lage des Schwerpunkts. Wenn ein Bob unterhalb des Gleichgewichtszentrums hinzugefügt wird, der Schwerpunkt des gesamten Pendels wird etwas nach unten verschoben. Anstatt L = Länge des Pendels zu sagen, ist es besser, L = 2 * (Abstand zwischen Schwerpunkt und Drehpunkt) zu sagen.