Warum wird ππ\pi verwendet, wenn der Wert von ggg in der Pendelbewegung berechnet wird?

Hat es etwas mit der Krümmung der Erde zu tun, die als kugelförmig angenommen wird?

Sie werden wahrscheinlich stöhnen, wenn Sie diese Antwort lesen, da sie nicht annähernd so kompliziert ist, wie Sie vielleicht denken.

Im Wesentlichen gibt es Faktor von$\pi$seit der Kreisfrequenz $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$

Ein bekanntes Ergebnis des linearisierten Pendelproblems ist, dass für kleine Winkelverschiebungen die Winkelfrequenz ist

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$$

was aus der Differentialgleichung in der Winkelverschiebung folgt$\theta$:

$$\ddot \theta + \frac{g}{L}\sin \theta = 0 \approx \ddot \theta + \frac{g}{L}\theta\;,\quad \theta \ll 1$$

Daher,

$$\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{g}{L} \Rightarrow g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}$$

Beachten Sie zunächst, dass man einfach durch Berücksichtigung der Dimension der beteiligten Parameter ableiten kann, dass die Zeitdauer der Schwingungen wie folgt verlaufen sollte

$$T\propto\sqrt{\frac{\ell}{g}}.$$ Das ist weil $g$Diese Beschleunigung hat daher die Dimensionen von Länge über Zeit zum Quadrat, und daher kann der Quotient nur die Dimension der Zeit haben, wenn der Quotient unter einem Quadratwurzelzeichen steht.

Die Proportionalitätskonstante von$2\pi$lässt sich so nicht ableiten. Dazu muss man die beteiligte Differentialgleichung für die Bewegung lösen. Was zufällig die "kreisförmigen" Funktionen hat$\sin$Und$\cos$als Lösungen. Also ich denke, man könnte sagen, dass die$\pi$kommt von dieser Funktion.

Ich werde versuchen, es so zu erklären, wie ich es meinem Kind tun würde, sobald er dort ankommt.

Wenn Sie dasselbe Pendel in einem horizontalen Kreis schwingen lassen und es von der Seite betrachten, sehen Sie dieselbe harmonische Bewegung. Der einzige Unterschied ist, dass es die ganze Zeit auf der gleichen Höhe bleibt, aber da wir es nur mit kleinen Winkeln zu tun haben, ist das kein großer Unterschied.

Jetzt kommt von oben (ich meine: von den Erwachsenen), wenn du ein Kind bist, die Zentripetalbeschleunigung:

$$a_c=v^2/r$$

Als Erwachsener können Sie die Maße überprüfen:$m/s^2=(m/s)^2/m$(SI). Als Kind interessiert Sie vielleicht die Tatsache, dass eine Kehrtwende mit doppelter Geschwindigkeit genauso schwer ist wie eine mit einem Viertel des Radius. (Die Fähigkeit, diese Gleichung herzuleiten, kommt etwas später als die Fähigkeit, die Proportionalitäten zu verstehen, die sie ausdrückt.)

Jedenfalls die (vertikale) Erdbeschleunigung$g$und die (horizontale) Zentripetalbeschleunigung$a_c$Ziehen Sie das Pendel im gleichen Verhältnis wie die Länge$L$(für kleine Winkel!) und den Radius$r$:

$$\frac{g}{a_c} = \frac{L}{r}$$

(Natürlich sind es die Kräfte, die ziehen, aber die Masse$m$hebt sich sofort auf – ein Exkurs in die Äquivalenz von schwerer und träger Masse könnte aber interessant sein.)

Da die Bewegung auf einem Kreis mit Radius ist$r$, die Geschwindigkeit ist

$$v=2\pi r/T$$

so dass

$$a_c=4\pi^2 r/T^2$$

was in das obige eingesetzt wird gibt

$$g=\frac{4\pi^2 L}{T^2}$$

qee (quod erat explicandum)

Im Wesentlichen,$\pi$erscheint, weil eine harmonische Bewegung als Projektion einer kreisförmigen Bewegung gesehen werden kann.