Ist das Theorem von Pusey-Barrett-Rudolph (PBR) nur in zwei Dimensionen anwendbar?

Ja, das Argument in diesem Artikel ist völlig allgemein und gilt für Zustandspaare in Hilbert-Räumen beliebiger Dimension. Sie wählen zwei linear unabhängige Vektoren und betrachten den von diesen Vektoren erzeugten zweidimensionalen Unterraum . Sie gehen nicht davon aus, dass der Hilbert-Raum selbst zweidimensional ist. Tatsächlich sagen sie dies ausdrücklich:

Diese Zustände überspannen einen zweidimensionalen Unterraum des Hilbert-Raums. Wir können die Aufmerksamkeit auf diesen Unterraum beschränken und die Systeme fortan ohne Beschränkung der Allgemeinheit als Qubits behandeln.

Dies ist ein perfekter Standardansatz für Theoreme in der linearen Algebra, der ständig verwendet wird. Wir verwenden es auch sehr oft in der QM, zB wenn wir Operatoren simultan diagonalisieren, wo wir den Eigenwert für einen von ihnen festlegen (dh wir beschränken die Aufmerksamkeit auf einen seiner Eigenräume) und die Eigenwerte des anderen untersuchen.

Motiviert durch die Antwort von AccidentalFourierTransform beschloss ich, einige Details einzugeben.

Lassen$|\psi_0\rangle$Und$|\psi_1\rangle$seien zwei normierte nicht kolineare Elemente von an$N$dimensionaler Hilbertraum$\mathcal{H}$. Sie überspannen dann einen zweidimensionalen Unterraum$\mathcal{S}_2$von$\mathcal{H}$. Eine Basis$|0\rangle$,$|1\rangle$,...,$|N-1\rangle$für$\mathcal{H}$existiert so, dass$|0\rangle$Und$|1\rangle$Spanne$\mathcal{S}_2$.

Nach dem ersten Beispiel im PBR-Papier, let

$$\begin{equation} |\psi_0\rangle=|0\rangle,\:\:\:\:\:|\psi_1\rangle=|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle). \end{equation}$$

Dann, wie in dem Artikel diskutiert, erzeugt das Zusammenbringen von zwei Kopien dieser Quantenzustände eine$N^2$dimensionaler Hilbertraum$\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}$, die insbesondere die vier Elemente hat$|0\rangle\otimes|0\rangle$,$|0\rangle\otimes|+\rangle$,$|+\rangle\otimes|0\rangle$, Und$|+\rangle\otimes|+\rangle$, die jeweils mit dem physikalischen Zustand kompatibel sind$\lambda$. Diese vier Vektoren sowie$|\xi_1\rangle$,$|\xi_2\rangle$,$|\xi_3\rangle$, Und$|\xi_4\rangle$(wie in dem Papier definiert) denselben vierdimensionalen Unterraum überspannen$\mathcal{S}_4$von$\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}$. Seit der$|\xi_i\rangle$Elemente sind orthonormal, eine zusätzliche$N^2-4$orthonormale Elemente existieren, so dass$\{|\xi_i\rangle\}$kann in eine orthonormale Basis für erweitert werden$\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}$. Dann existiert auf dieser Basis eine projektive Messung. Wie es in dem Papier heißt,$\langle\xi_1|(|0\rangle\otimes|0\rangle)=0$,$\langle\xi_2|(|0\rangle\otimes|+\rangle)=0$,$\langle\xi_3|(|+\rangle\otimes|0\rangle)=0$,$\langle\xi_4|(|+\rangle\otimes|+\rangle)=0$. Aber zusätzlich ist jede von diesen auch orthogonal zu den übrigen$|\xi_i\rangle_{i>4}$, Seit jeder$|\xi_i\rangle_{i>4}$ist orthogonal zu jedem Element von$\mathcal{S}_4$. Wenn also der physikalische Zustand$\lambda$ist zufällig vorbereitet und a$\hat{\xi}$Wenn eine Messung durchgeführt wird, hat jedes mögliche Ergebnis eine Nullwahrscheinlichkeit, dass es realisiert wird, was den Grundsätzen des QM widerspricht.

Ein ähnliches Argument kann auf den nächsten Teil des Papiers angewendet werden, wo zwei willkürliche normalisierte nicht kolineare Elemente$|\psi_0\rangle$Und$|\psi_1\rangle$gelten als. Wie in der Arbeit besprochen, werden n Kopien dieser Zustände zusammengebracht, um a zu erzeugen$N^n$dimensionaler Hilbertraum$\mathcal{H}^{\otimes{n}}$. Dieser Hilbertraum enthält die Elemente$|\psi_{x_1}\rangle\otimes...\otimes|\psi_{x_n}\rangle$Wo$x_i\in\{0,1\}$, die zusammengenommen a überspannen$2^n$dimensionaler Unterraum$\mathcal{S}_{2^n}$von$\mathcal{H}^{\otimes{n}}$. Die Autoren liefern auch eine orthonormale Basis$\{(H^{\otimes{n}}R_{\alpha}Z_{\beta}^{\otimes{n}})^{\dagger}|x_1...x_n\rangle\}$für$\mathcal{S}_{2^n}$so dass für jeden$|\psi_{x_1}\rangle\otimes...\otimes|\psi_{x_n}\rangle\in\mathcal{S}_{2^n}$

$$\begin{equation} \langle{x_1...x_n}|{H}^{\otimes{n}}R_{\alpha}Z_{\beta}^{\otimes{n}}|\psi_{x_1}\rangle\otimes...\otimes|\psi_{x_n}\rangle=0. \end{equation}$$

Wie im vorigen Beispiel$\{(H^{\otimes{n}}R_{\alpha}Z_{\beta}^{\otimes{n}})^{\dagger}|x_1...x_n\rangle\}$kann in eine orthonormale Basis für erweitert werden$\mathcal{H}^{\otimes{n}}$so dass jedes Basiselement zu mindestens einem orthogonal ist$|\psi_{x_1}\rangle\otimes...\otimes|\psi_{x_n}\rangle$. Unter der Annahme wieder, dass der physikalische Zustand$\lambda$ist mit jedem kompatibel$|\psi_{x_1}\rangle\otimes...\otimes|\psi_{x_n}\rangle$, dann hat eine auf die vorgenannte Grundlage hochgerechnete Bewertung kein realisierbares Ergebnis.