Ist der Vakuumzustand ein kohärenter Zustand?

Der kohärente Zustand$\vert \alpha\rangle$ist nur ein Vakuumzustand$\vert 0\rangle$übersetzt hinein$x$Und$p$Platz also$\alpha=x_0+ip_0$. Somit ist der Vakuumzustand ein kohärenter Zustand, der nicht verschoben wurde, d. h$x_0=p_0=0$.

Eine schöne Möglichkeit, dies zu sehen, ist der Wigner-Funktionsformalismus . Der Vakuumzustand ist nur eine Gaußsche, die im Zentrum sitzt$(x,p)$Raum, während ein kohärenter Zustand derselbe Zustand ist, der an einen anderen Punkt verschoben ist. Dies wird in den folgenden Abbildungen veranschaulicht, die dieser Website entnommen sind : Links ist die Wigner-Funktion des Vakuumzustands und rechts die eines kohärenten Zustands.

Beachten Sie auch, dass die Wigner-Funktion für den kohärenten Zustand überall positiv ist und die Positivität der Wigner-Funktion manchmal als Kennzeichen der Klassizität angesehen wird, so dass in diesem Sinne kohärente Zustände (und der Vakuumzustand) "klassische Zustände" sind.

Ein kurzer Film , der die zeitliche Entwicklung der Wigner-Funktion eines kohärenten Zustands illustriert, kann auf der kohärenten Zustands-Wikipage gefunden werden ; es zeigt, dass sich die Wigner-Funktion nicht verformt und zu allen Zeiten nicht-negativ bleibt, da der Vakuumzustand natürlich ein Eigenzustand des Hamilton-Operators ist und im Zentrum von liegt$(x,p)$, würde seine Wigner-Funktion eigentlich immer bestehen bleiben.

Kohärenter Zustand ist eine Überlagerung von Zuständen mit unterschiedlicher Teilchenzahl mit einem Gewicht der Poisson-Verteilung. Mit anderen Worten,

$$|\alpha\rangle =e^{-{|\alpha|^2\over2}}\sum_{n=0}^{\infty}{\alpha^n\over\sqrt{n!}}|n\rangle$$ Wo $|n\rangle$ist ein Zustand mit $n$Anzahl der Partikel.

Wenn Sie also sagen, dass sich mein System in einem kohärenten Zustand befindet, meinen Sie damit, dass Ihr System keine bestimmte Teilchenzahl hat. Aus diesem Grund entfernen Sie ein Teilchen aus diesem Zustand mit

$$a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle$$ Sie ändern den Zustand nicht. Deshalb ist der kohärente Zustand ein Eigenzustand des Vernichtungsoperators.

Aber der Grund dafür, dass Vakuum ein Eigenzustand der Vernichtungsoperation ist, ist; es hat keine Partikel, also gibt es nichts zu vernichten. deshalb ändert es sich nicht. In diesem Sinne würde ich also nicht sagen, dass Vakuum ein kohärenter Zustand ist, weil es eine bestimmte Teilchenzahl hat$0$. und der Grund für diese Ähnlichkeit unter dem Akt des Vernichtungsoperators liegt an verschiedenen Gründen.

Die gewöhnlichen kohärenten Zustände können auf verschiedene Arten erzeugt werden: (1) als Zustände minimaler Unsicherheit, (2) als Eigenzustände des Vernichtungsoperators und (3) als Zustände, die über den Operator aus dem Grundzustand verschoben werden$D (\alpha ) =e^{\alpha a^{\dagger}-\alpha^{*} a}$, Wo$\alpha$ist eine komplexe Zahl. Die durch diese drei Verfahren erzeugten Zustände sind äquivalent. Ich werde zeigen, wie sie äquivalent sind, und durch ihre Äquivalenz reicht es aus, den Grundzustand zu zeigen$|0\rangle$ist ein Zustand minimaler Unsicherheit.

Nachweisen:

$$\begin{align} x^{2} &=\frac{\hbar}{2 m \omega}\left(a+a^{\dagger}\right)^{2} \\ p^{2} &=-\frac{m \omega \hbar}{2}\left(a-a^{\dagger}\right)^{2} \end{align}$$

Unter Verwendung der zweiten Definition des kohärenten Zustands (als Eigenzustände des Vernichtungsoperators)

$$\begin{align} a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle \end{align}$$ was impliziert$\left\langle\alpha\left|a^{\dagger} a\right| \alpha\right\rangle=|\alpha|^{2}$. Es ist trivial zu überprüfen, ob dies tatsächlich ein minimales Wellenpaket definiert

$$\begin{align} \begin{array}{r} \left\langle\alpha\left|\left(a+a^{\dagger}\right)\right| \alpha\right\rangle=\left(\alpha+\alpha^{\star}\right) \\ \left\langle\alpha\left|\left(a-a^{\dagger}\right)\right| \alpha\right\rangle=\left(\alpha-\alpha^{\star}\right) \\ \left\langle\alpha\left|\left(a+a^{\dagger}\right)\left(a+a^{\dagger}\right)\right| \alpha\right\rangle=\left(\alpha+\alpha^{\star}\right)^{2}+1 \\ \left\langle\alpha\left|\left(a-a^{\dagger}\right)\left(a-a^{\dagger}\right)\right| \alpha\right\rangle=\left(\alpha-\alpha^{\star}\right)^{2}-1 \end{array} \end{align}$$

woraus folgt

$$\begin{align} \left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle_{\alpha} &=\left\langle x^{2}\right\rangle_{\alpha}-\langle x\rangle_{\alpha}^{2}=\frac{\hbar}{2 m \omega} \\ \left\langle(\Delta p)^{2}\right\rangle_{\alpha} &=\left\langle p^{2}\right\rangle_{\alpha}-\langle p\rangle_{\alpha}^{2}=\frac{\hbar m \omega}{2} \end{align}$$

und entsprechend

$$\begin{align} \left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle_{\alpha}\left\langle(\Delta p)^{2}\right\rangle_{\alpha}=\frac{\hbar}{4} \end{align}$$

Also die Staaten$|\alpha\rangle$die minimale Unsicherheitsrelation erfüllen.

Im$|n\rangle$Basis sieht der kohärente Zustand so aus:

$$\begin{align} |\alpha\rangle=\sum_{n} c_{n}|n\rangle=\sum_{n}|n\rangle\langle n \mid \alpha\rangle \end{align}$$ Seit $$\begin{align} |n\rangle=\frac{\left(a^{\dagger}\right)^{n}}{\sqrt{n !}}|0\rangle \end{align}$$ wir haben $$\begin{align} \langle n \mid \alpha\rangle=\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n !}}\langle 0 \mid \alpha\rangle \end{align}$$ und somit $$\begin{align} |\alpha\rangle=\langle 0 \mid \alpha\rangle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n !}}|n\rangle \end{align}$$ Die Konstante$\langle 0 \mid \alpha\rangle$wird durch Normierung wie folgt bestimmt: $$\begin{align} 1=\sum_{n}\langle\alpha|n\rangle \langle n| \alpha\rangle=|\langle 0 \mid \alpha\rangle|^{2} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{|\alpha|^{2 m}}{m !}=|\langle 0 \mid \alpha\rangle|^{2} e^{|\alpha|^{2}} \end{align}$$ Lösung für$\langle 0 \mid \alpha\rangle$wir bekommen: $$\begin{align} \langle 0 \mid \alpha\rangle=e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^{2}} \end{align}$$ bis auf einen Phasenfaktor. Durch Einsetzen erhalten wir die endgültige Form: $$\begin{align} |\alpha\rangle=e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n !}}|n\rangle \end{align}$$

Jetzt,

$$\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n !}}|n\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{n !}\left(a^{\dagger}\right)^{n}|0\rangle=e^{\alpha a^{\dagger}}|0\rangle \end{align}$$

was impliziert

$$\begin{align} |\alpha\rangle=e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^{2}} e^{\alpha a^{\dagger}}|0\rangle . \end{align}$$

Wegen$a|0\rangle=0$, wir haben$e^{-\alpha^{*}a}|0\rangle=|0\rangle$. Somit kann die obige Gleichung geschrieben werden als

$$\begin{align} |\alpha\rangle=e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^{2}} e^{\alpha a^{\dagger}} e^{-\alpha^{*} a}|0\rangle . \end{align}$$

Mit dem Baker-Campbell-Hausdorff$(\mathrm{BCH})$Formel für zwei beliebige Operatoren$A$Und$B$die mit dem Kommutator von kommutieren$A$Und$B$

$$e^{-\frac{1}{2}[A, B]} e^{A} e^{B}=e^{A+B}$$ und die Relation $$\begin{align} \left[\alpha a^{\dagger}, \alpha^{*} a\right]=|\alpha|^{2}, \end{align}$$

wir kommen an,

$$\begin{align} |\alpha\rangle = e^{\alpha a^{\dagger}-\alpha^{*} a}|0\rangle = D(\alpha)|0\rangle \end{align}$$

Und$|\alpha \rangle$ist ein „verdrängter Vakuumzustand“.$D(\alpha)$ist der Verschiebungsoperator.

Also haben wir gezeigt$(2) \equiv (1)$Und$(2) \equiv (3)$.

Nun soll der Grundzustand gezeigt werden$|0\rangle$ist ein Zustand minimaler Unsicherheit:

Seit

$$\begin{align} \left\langle 0\left|\left(a+a^{\dagger}\right)\left(a+a^{\dagger}\right)\right| 0\right\rangle &=\left\langle 0\left|a a^{\dagger}\right| 0\right\rangle=1 \\ \left\langle 0\left|\left(a-a^{\dagger}\right)\left(a-a^{\dagger}\right)\right| 0\right\rangle &=-\left\langle 0\left|a a^{\dagger}\right| 0\right\rangle=-1 \end{align}$$

es folgt dem

$$\begin{align} \left\langle x^{2}\right\rangle_{0}\left\langle p^{2}\right\rangle_{0}=-\frac{\hbar^{2}}{4} 1(-1)=\frac{\hbar^{2}}{4} \end{align}$$

und schließlich seit$\langle x\rangle_{0}=\langle p\rangle_{0}=0$, es folgt dem

$$\begin{align} \left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle_{0}\left\langle(\Delta p)^{2}\right\rangle_{0}=\frac{\hbar^{2}}{4} \end{align}$$

Aber beachte das$|n\rangle$ist kein Zustand minimaler Unsicherheit.

$$\begin{align} \left\langle n\left|\left(a+a^{\dagger}\right)\left(a+a^{\dagger}\right)\right| n\right\rangle=\left\langle n\left|a a^{\dagger}+a^{\dagger} a\right| n\right\rangle=\left\langle n\left|2 a^{\dagger} a+\left[a, a^{\dagger}\right]\right| n\right\rangle=2 n+1 \end{align}$$

und ähnlich

$$\begin{align} \left\langle n\left|\left(a-a^{\dagger}\right)\left(a-a^{\dagger}\right)\right| n\right\rangle=-(2 n+1) \end{align}$$

was impliziert

$$\begin{align} \left\langle(\Delta x)^{2}\right\rangle_{n}\left\langle(\Delta p)^{2}\right\rangle_{n}=\frac{\hbar^{2}}{4}(2 n+1)^{2} \end{align}$$

So$|n\rangle$ist nicht minimal!