Ist die hier angegebene Gleichung eine Annäherung an die tatsächliche Venturimeter-Gleichung?

Das Manometer enthält eine Flüssigkeit der Dichte$\rho_m$.

Die Geschwindigkeit$v_1$der durchströmenden Flüssigkeit an einem breiten Halsbereich, der aus der Kontinuitätsgleichung (10.10) zu messen ist. die Geschwindigkeit der consitrion wird$v_2 = \frac{A_1}{a} v_1$. Verwenden Sie dann die Bernoulli-Gleichung (10.12) für$h_1 = h_2$, wir bekommen:

$$P_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho (v_1)^2( \frac{A}{a})^2$$ So dass $$P_1 -P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_1)^2 [ (\frac{A}{a})^2 -1]$$ Dieser Druckunterschied bewirkt, dass die Flüssigkeit im U-Rohr, das am engen Hals angeschlossen ist, im Vergleich zum anderen Arm ansteigt. Der Höhenunterschied wird als Druckunterschied angesehen. $$P_1 - P_2 = \rho_m gh= \frac{1}{2} \rho (v_1)^2 [ (\frac{A}{a})^2 -1]$$ Somit, $$v_1 = \sqrt{\frac{2ghρ_{m}}{ρ(\frac{A_{1}^2}{A_{2}^2}-1)}}$$ Wo$ρ_{m}$ist die Dichte von Quecksilber und$ρ$ist die Dichte der Flüssigkeit im Venturimeter.

Das Problem, das ich bei dieser Ableitung habe, ist die Annahme, dass zwischen Flüssigkeit und Venturi-Messgerät kein Druckunterschied besteht. Ich habe versucht, es in einer Ableitung zu berücksichtigen, die ich selbst gemacht habe, und ich habe eine andere Antwort erhalten:

$$v_1 = \sqrt{\frac{2gh(\frac{ρ_{m}}{ρ}-1)}{(\frac{A_{1}^2}{A_{2}^2}-1)}}$$

Wo$ρ_{m}$ist die Dichte von Quecksilber und$ρ$ist die Dichte der Flüssigkeit im Venturimeter.

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Meine Ableitung:

1. Druckgleichungen:

Der Druck ist in beiden Armen in der Höhe gleich$h_1$jeden Arm nach unten, und diesen Druck bezeichne ich als P.Let Pressure at height$h_2$unten am rechten Arm sein$P^{'}$

Wir erhalten diese drei folgenden Gleichungen:

$$P_A + ρgh_1 = P$$

so können wir dies umschreiben als

$$P_A = P - ρgh_1$$

ähnlich,

$$P_B + ρgh_2 = P^{'}$$

Und

$$P^{'} + ρ_{m}gh = P$$ Wo$h = h_{1} - h_{2}$

Unter Verwendung der obigen Gleichungen können wir isolieren für$P_A$Und$P_B$bezüglich Druck und Höhe:

$$P_A = P - ρgh_1$$

$$P_B = P - ρgh_2 - ρ_{m}gh$$

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2. Einsetzen der Druckgleichungen in die Bernoulli-Gleichung

Bernoulli-Gleichung unter der konstanten Höhe des Rohres:

$$P_A + \frac{1}{2}ρv_{1}^{2} = P_B + \frac{1}{2}ρv_{2}^{2}$$

mit Substitutionen von Gleichungen, die im ersten Abschnitt abgeleitet wurden,

$$P - ρgh_1 + \frac{1}{2}ρv_{1}^{2} = P - ρgh_2 - ρ_{m}gh + \frac{1}{2}ρv_{2}^{2}$$

beim Vereinfachen erhalten wir

$$-ρgh_1 + \frac{1}{2}ρv_{1}^{2} = - ρgh_2 - ρ_{m}gh + \frac{1}{2}ρv_{2}^{2}$$

Und mit etwas zusätzlicher Algebra,

$$(ρ - ρ_{m})gh = \frac{1}{2}ρ(v_{1}^{2} - v_{2}^{2})$$

Hier$v_{2}$gleichgesetzt werden kann$\frac{A_{1}v_{1}}{A_{2}}$(aus dem Kontinuitätsprinzip)

das gibt uns dann:

$$(ρ - ρ_{m})gh = \frac{1}{2}ρv_{1}^{2}(1 - \frac{A_{1}^{2}}{A_{2}^{2}})$$

Nach Umformung erhalten wir:

$$v_1 = \sqrt{\frac{2gh(\frac{ρ_{m}}{ρ}-1)}{(\frac{A_{1}^2}{A_{2}^2}-1)}}$$

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Das Problem:

Was ich anders gemacht habe, war, dass ich sogar den Druckunterschied aufgrund der Flüssigkeit zwischen dem Quecksilber und dem im Venturimeter berücksichtigt habe. Danach habe ich einfach die Bernoulli-Gleichung angewendet ...

Meine Frage ist, ob die Herleitung in meinem Buch eine Annäherung genommen hat, ohne das zu erwähnen$ρ <<<ρ_{m}$? Weil das die richtige Gleichung ergibt, aber ich bin mir nicht sicher, ob es das ist oder ob ich woanders einen Fehler gemacht habe ...

Zusätzliche Verwirrung: Angenommen, Sie nehmen die Dichten der beiden Flüssigkeiten (in diesem Fall gleich Quecksilber) als gleich, im Falle der im Buch abgeleiteten Gleichung erhalten Sie dieselbe Gleichung wie im Falle eines offenen ( Luft) Venturimeter auf Manometerbasis, wie hier gezeigt , das einen Geschwindigkeitswert ungleich Null ergibt. Aber wenn ich das in meiner Gleichung mache, bekomme ich einen Geschwindigkeitswert gleich Null. Sind also beide Gleichungen noch richtig? Wenn nicht, welches ist falsch und was ist falsch? –

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Referenzen: Seite -260, Ncert Physics Class-11 Teil-2

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Jede Hilfe hierzu wird sehr geschätzt!