Wenn wir Mathematik betreiben und Modelle bereitstellen, die eine bestimmte Theorie erfüllen, unterscheiden wir zwischen Standard- und Nicht-Standardmodellen. Nehmen wir nun an, Sie sind ein Platoniker und glauben, dass die von diesen Modellen beschriebenen Objekte wirklich existieren.
Würden diese Standardmodelle nun aus pragmatischen oder erkenntnistheoretischen Gründen „Standard“ sein? Zum Beispiel könnte es sein, dass das Standardmodell der Arithmetik einfach dasjenige ist, an dem wir am meisten interessiert oder mit dem wir am vertrautesten sind (oder vielleicht aus irgendeinem Grund am einfachsten damit zu arbeiten). Es könnte einfach etwas sein, über das wir aus verschiedenen pragmatischen oder erkenntnistheoretischen Gründen sprechen wollen, wie die synonyme Verwendung von „beabsichtigtes Modell“ vermuten lässt.
Aber es ist auch möglich, dass die Standardmodelle in gewissem Sinne metaphysisch privilegiert sind, vielleicht weil sie grundlegender sind als die Nicht-Standardmodelle. Diese Art von Verständnis wird von David Lewis vorgeschlagen, wenn er seine Lösung des Plus-Quus-Problems skizziert (zu finden in „New Work for a Theory of Universals“; siehe hier für eine kurze Beschreibung des Problems). Seine Lösung beinhaltet die Berufung auf Grade der Natürlichkeit von Eigenschaften. Einige Eigenschaften sind vollkommen natürlich, diese sind die grundlegendsten. Andere Eigenschaften können jedoch mehr oder weniger natürlich sein als andere. Ein Teil von Lewis' Referenztheorie (manchmal als "Referenzmagnetismus" bezeichnet) besagt, dass Natürlichkeit Eigenschaften zu "Referenzmagneten" macht, in dem Sinne, dass --- ceteris paribus---der natürlichste einer Reihe von möglichen Referenzen für ein Prädikat ist der beste Referenzkandidat und derjenige, auf den am wahrscheinlichsten verwiesen wird. Seine Lösung ist dann zu sagen, dass „plus“ (unsere normale Additionsfunktion) ein besserer Referenzkandidat ist als „quus“ (das mit unserer Additionsfunktion übereinstimmt, bis eine Zahl n, die niemand berechnet hat, dann das Ergebnis 52 für alle liefert number > n ), weil es natürlicher ist. Es scheint also, dass Lewis' Lösung die mathematische Funktion metaphysisch bevorzugt (da Natürlichkeit ein metaphysischer Begriff ist). Eine ähnliche Haltung könnte gegenüber Standardmodellen eingenommen werden, dass sie (oder die von ihnen verwendeten Konzepte) natürlicher sind als Nicht-Standardmodelle.
Gibt es Philosophen, die den metaphysischen Status von Standardmodellen explizit diskutiert haben? Gibt es Philosophen, deren Ansichten zur Mathematik so etwas nahelegen?
(Dies ist eher ein Kommentar zu Ihrer Frage als eine Antwort; aber es ist etwas zu lang, um einer zu sein).
a. Um das Lesen von Standard- und Nicht-Standardmodellen zu erschweren , könnte man die echte Linie betrachten. Dies scheint in hohem Maße wie ein natürliches Objekt zu sein; Es hat jedoch keine natürliche Vorstellung von Infinitesimalen. Dies macht es ungeschickt für Berechnungen und Analysen. Man kann eine nicht standardmäßige echte Linie einführen, die sie tatsächlich hat, und dies wurde ursprünglich durch die Verwendung von nicht standardmäßigen Modellen von Robinson erreicht.
Hier haben wir also ein nicht standardmäßiges Modell, um natürliche Merkmale in die echte Linie einzuführen . Sicher scheint es, dass es epistemische , pragmatische oder ästhetische Gründe gibt, welches Modell Standard ist .
b. Dass es für einige Theorien Standard- und Nicht-Standardmodelle geben kann, ist unbestreitbar, aber können wir das genauer sagen? Wir können, es gibt die Eigenschaft der Kategorizität in der Modelltheorie. Wenn es erfüllt ist, bedeutet das einfach, dass, selbst wenn es mehr als ein Theoriemodell gibt, sie tatsächlich alle isomorph sind – wir haben also gewissermaßen nur ein Modell. Für eine Theorie erster Ordnung ist dies nämlich nicht möglich. Aber wenn wir dies zusammen mit der Größe des Modells berücksichtigen, kann mehr gesagt werden. Es stellt sich heraus (wenn die Sprache der Theorie abzählbar ist), dass alle Modelle jeder Kardinalität isomorph sind.
Dann sehen wir zumindest, dass das Standardmodell einen privilegierten Platz einnimmt – es steht am Anfang dieser transfiniten Zählung, dieser Leiter von Modellen.
Die andere interessante Möglichkeit besteht darin, diese Leiter durch Topologisieren in eine Linie zu verwandeln. Dadurch sieht es der echten Linie sehr ähnlich (außer natürlich, dass es immer noch sehr unterschiedlich ist), und dann steht das Standardmodell am Anfang einer Reihe von Modellen.
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Badiou untersucht in seinem Konzept des Modells die Metaphysik der Modelle . Ich denke, er sieht ein Modell als Darstellung eines mathematischen Konzepts. Viel mehr kann ich dazu nicht sagen.
Ist die mathematische Vorstellung eines „Standardmodells“ eine metaphysische oder eine (rein) epistemische Unterscheidung?
Die Metatheorie, in der ein Modell eines formalen Systems lebt, darf nicht mit Metaphysik verwechselt werden. Die beabsichtigte Struktur „A“ ist in der Metatheorie normalerweise explizit angegeben. Beachten Sie auch, dass Isomorphismus ein gut definierter Begriff in der Metatheorie ist. Da "Th(A)" (= die für A gültige Formelmenge) oft nicht "berechenbar" ist, nehmen wir eine rekursiv aufzählbare (="berechenbare") Teilmenge von Formeln $\Phi$ aus "Th(A)" , die im Wesentlichen alle wichtigen Aspekte von „A“ erfasst. Ein Modell "B" von $\Phi$ mit "Th(B) != Th(A)" wird als Nicht-Standard-Modell bezeichnet. Es gibt auch den Fall eines nicht isomorphen Modells "B" mit "Th(B) == Th(A)", aber selbst wenn dies kein "Standardmodell" ist, würden wir dies nicht unbedingt als nicht- Standardmodell.
Gibt es Philosophen, die den metaphysischen Status von Standardmodellen explizit diskutiert haben?
Wie wäre es mit Alfred Teitelbaum oder Alfred Horn? (Das sind keine Philosophen, ich weiß.) Im Ernst, ich denke, die Begriffe Standard- und Nicht-Standard-Modell entstehen aus der Notwendigkeit und stehen nicht in direktem Zusammenhang mit metaphysischen Fragen. Andererseits haben viele Theorien unterschiedliche Modelle:
Ein gängiges Beispiel sind „freie Modelle“. Dieses Beispiel bezieht sich auf die Definition von Homomorphismen für Modelle (insbesondere dann Bedingung "wenn R(x_1,...,x_n) dann R^h(h(x_1),...,h(x_n))"), die modelliert Beziehungen gemäß der Semantik der Gleichheit.
Wie bereits in einer anderen Antwort erwähnt, werden häufig auch Modelle minimaler Kardinalität unterschieden.
Gibt es Philosophen, deren Ansichten zur Mathematik so etwas nahelegen?
Die Frage, was bestimmte Modelle von anderen unterscheidet oder weniger komplex macht, hat sicherlich einige Aufmerksamkeit erregt. Ich kenne jedoch nur Mathematiker (wie Kolmogorov), die versucht haben, Antworten auf diese Fragen vorzuschlagen, aber nicht einmal ihre Originalarbeiten gelesen haben.
Rex Kerr
Dennis