Worauf bezieht sich Poincaré in seinem Artikel Intuition und Logik in der Mathematik , wenn er von der Intuition der reinen Zahl spricht? Er bezieht sich neben der "Intuition der reinen Zahl" auch auf zwei andere Formen der Intuition, nämlich die "analogische Intuition" und die Intuition, die "mathematische Induktion" voraussetzt. Meine Vermutung ist, dass er sich auf eine Art Intuition bezieht, die mit dem Wissen um die Eigenschaften von Zahlen zusammenhängt.
Hier sind einige Passagen des Textes, in denen er sich auf die „Intuition der reinen Zahl“ bezieht.
„Wir haben also viele Arten der Anschauung; erstens den Appell an die Sinne und die Vorstellungskraft; dann die Verallgemeinerung durch Induktion, sozusagen kopiert von den Verfahren der experimentellen Wissenschaften; schließlich haben wir die Anschauung der reinen Zahl, woraus das zweite der soeben ausgesprochenen Axiome entstand, das in der Lage ist, die eigentliche mathematische [...]
Ich habe oben an Beispielen gezeigt, dass die ersten beiden uns keine Gewissheit geben können; aber wer zweifelt ernsthaft an der dritten, wer zweifelt an der arithmetik? Nun, in der Analyse von heute, wenn man sich Mühe gibt, streng zu sein, kann es nur Syllogismen oder Appelle an diese Intuition der reinen Zahl geben, die einzige Intuition, die uns nicht täuschen kann. [...]
Ich habe oben gesagt, dass es viele Arten von Intuition gibt. Ich habe gesagt, wie sehr sich die Intuition der reinen Zahl, aus der die strenge mathematische Induktion stammt, von der sinnlichen Intuition unterscheidet, zu der die eigentliche Vorstellungskraft den Hauptbeitrag leistet. [...] Könnten wir mit ein wenig Aufmerksamkeit erkennen, dass diese reine Intuition selbst nicht ohne die Hilfe der Sinne auskommen könnte? [...]
Es ist die Intuition der reinen Zahl, die der reinen logischen Formen, die diejenigen erleuchtet und leitet, die wir Analytiker genannt haben. Das befähigt sie nicht nur zu demonstrieren, sondern auch zu erfinden. Durch sie nehmen sie auf einen Blick den Gesamtplan eines logischen Gebäudes wahr, und zwar ohne dass die Sinne einzugreifen scheinen. [...] Gibt es Raum für eine neue Unterscheidung, für eine Unterscheidung zwischen den Analytikern, die sich vor allem dieser reinen Intuition bedienen, und denen, die sich in erster Linie mit der formalen Logik beschäftigen?
„Intuition der reinen Zahl“ ist die Intuition, die Poincare von Kants apriorischer Form der Zeitwahrnehmung übernommen hat. Kant erkannte zwei Formen der Wahrnehmung, die a priori ein synthetisches, also „rigoroses“ Wissen, Raum und Zeit hervorbringen. Aus ersterem entsteht die geometrische Anschauung, aus letzterem die arithmetische. Nach der Entdeckung nichteuklidischer Geometrien wurde die Fehlbarkeit der geometrischen Intuition jedoch im 19. Jahrhundert zu einem Konsens. Dementsprechend änderten Helmholtz und Poincare die Ansicht von Kant, indem sie vorschlugen, dass die geometrische Intuition nicht spezifisch genug ist, um die euklidische Geometrie herauszugreifen, und nach Riemann nicht einmal die Geometrien konstanter Krümmung, sondern höchstens eine lokal euklidische. Also bis zum Ende des Jahrhunderts die einzige "rigorose" Anschauung übrig blieb die apriorische Synthese der Vielheit in der Zeit, die arithmetische „Anschauung der reinen Zahl“. Siehe wieKant erklärt, warum 7+5=12 auf der Grundlage dieser Intuition.
Ich bin mir nicht sicher, was das OP mit "Intuition im Zusammenhang mit der Kenntnis der Eigenschaften von Zahlen" meint, aber es klingt eher nach Hilberts Ansicht als nach Poincares. Hilbert dachte, dass wir keine kantische Intuition von Zahlen als solchen haben, sondern eher eine Intuition über die Manipulation von Symbolen, die sie angeblich repräsentieren, dh eine Intuition von symbolischen Eigenschaften. Da nicht nur die Arithmetik, sondern die gesamte Mathematik als symbolische Manipulation formaler Theorien angesehen werden kann, kam Hilbert auf die Idee, die gesamte Mathematik auf dem apriorischen synthetischen Wissen von Symbolen zu gründen. Das war das berühmte Hilbert-Programm, siehe Gab es einen kantischen Einfluss auf Hilberts formalistisches Programm?
Die Begriffe - Intuition, reine Anschauung und logische Form - werden zumindest in der Philosophie mit der Kantischen Metaphysik in Verbindung gebracht; Diese Lesart wird bestätigt durch:
Aus dem SEP-Artikel über Poincare :
Als Ausgleich zum empirischen Element gibt es in Poincares philosophischen Ansichten ein stark aprioristisches Element; denn er argumentierte, dass die Intuition a priori eine erkenntnistheoretische Grundlage für die Mathematik liefert .
Seine Ansichten über die Intuition stammen von Kant, den er ausdrücklich verteidigt.
Mauro ALLEGRANZA