Ist die Zahl π empirisch oder a priori?

Ich habe das Beispiel von π verwendet, aber das gilt auch für andere transzendente Zahlen wie e

Kant hat Aussagen anhand von zwei Kriterien in 4 epistemische Kategorien eingeteilt: Die analytische/synthetische Unterscheidung (Sind Aussagen per Definition wahr oder benötigen wir Informationen von außen, um ihre Wahrheit zu bestimmen) und die A priori/A Posteriori-Unterscheidung (Sind sie unabhängig von empirischen Beweisen bzw nicht).

Insbesondere gelangte er zur Existenz synthetischer Wahrheiten a priori, im Gegensatz zu Hume, der glaubte, dass alle Aussagen entweder a priori analytisch oder a posteriori synthetisch seien.

Weder Kant noch Hume glaubten, dass analytische Wahrheiten a posteriori möglich sind.

Meine Frage bezieht sich auf die Berechnung von π bis zu einer beliebigen Anzahl von Stellen:

  • Es ist eine Zahl, also enthält es vermutlich seine eigene Definition: Sagt man "π bis zu 88 Ziffern = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034" ist eine analytische Aussage
  • Aber über eine bestimmte Anzahl von Ziffern hinaus kann niemand die neuen Ziffern selbst finden, sie müssten sich auf einen Computer verlassen, um die Berechnung durchzuführen, also ist es eine analytische a posteriori (und Kant war falsch, analytische a posteriori Wahrheiten zu denken gab es nicht)?
  • π ist nicht wirklich eine Zahl, es ist ein Symbol, das eine Abkürzung für eine komplexe mathematische Beziehung ist, und als solches "π bis zu 88 Ziffern = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620894862083986" ist eine synthetische Wahrheit "a prior"?
  • Aber wir können "π bis zu 2288 Stellen" nicht berechnen, ohne ein mechanisches Verfahren durchzuführen. π ist also eigentlich eine empirische Tatsache über die Welt – also a posteriori synthetisch. Ist π dann eine empirische Konstante, ähnlich der Gravitationskonstante oder der Ladung eines Elektrons?

Wie würde Kant π klassifizieren? Wie würde Hume? Wenn π empirisch ist, wird es dann nicht theorielastig, gemäß der Quine-Duhem-These, und π würde sich in Abhängigkeit von einigen Änderungen in den Axiomen der Mathematik oder Geometrie ändern? Was ist der epistemische Status von π? Da wir den "wahren Wert" von π nie vollständig kennen können, ist er dann ein Ding an sich, ein Teil des Noumenons?

Ihre ersten drei Aufzählungspunkte sind falsch: 1) "π = 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078" ist lediglich eine Unwahrheit. 2) Jede Berechnung, die ein Computer durchführen kann, kann ein Mensch von Hand (langsamer) durchführen. Wir verwenden nur Computer, um diese Berechnungen schneller und einfacher durchzuführen. Es ist hier nicht relevant. 3) Sie verschmelzen pi-das-Symbol und pi-die-Zahl. Sätze mit pi verwenden das pi-Symbol, aber die Sätze selbst handeln von einer Zahl. Die Zahl kann auf eine Vielzahl qualitativ unterschiedlicher Weisen definiert bzw. dargestellt werden.
@Era danke für den Hinweis. Ich habe einige Änderungen vorgenommen.
Siehe auch: Wie hat Kant Wissen definiert? . Wie in seinen Metaphysischen Grundlagen der Naturwissenschaften wird die Mathematik als Beispiel für eine Konstruktion mit apodiktischer Gewissheit, also eine Wissenschaft im eigentlichen Sinne, dargestellt .
Ich bin bei @Era, das Problem ist, dass pi keine Ziffernfolge ist, sondern eine geometrische Beziehung, das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Alle „synthetischen“ Näherungen haben nichts mit der analytischen Natur der tatsächlichen Zahl zu tun. Dass Pi konstant ist, ist eine nachträgliche Entdeckung. Wir könnten in einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit gelebt haben, wo wir nicht hätten entdecken können, dass die Beziehung gilt. Wenn es jedoch existiert, sind die Regeln darüber nicht synthetisch, nicht einmal sein Wert. Es ist eine analytische a posteriori Tatsache, wie vieles in der Mathematik.
Zahlen sind keine Fakten oder Dinge, die es zu entdecken gilt. Worüber Sie sprechen, sind Fakten über pi , wie z. B. seine Dezimalerweiterung. Jede gegebene Tatsache über Pi ist angesichts der Definitionen aller Begriffe in der Aussage analytisch. Allgemeiner gesagt hat jede Tatsache über Pi den gleichen Status wie praktisch jede andere Tatsache der Mathematik. Die Existenz oder ein anderer metaphysischer Status von Zahlen als Objekten ist eine andere Frage. Vielleicht interessanter als Transzendente wie pi oder e sind solche, deren Ziffern nicht durch irgendeinen mechanischen Prozess berechnet werden können , was sich als fast alle Zahlen herausstellt.
Die Ziffern von Pi werden vollständig durch ein Computerprogramm endlicher Länge charakterisiert. en.wikipedia.org/wiki/Computable_number Berechenbare Zahlen sind von geringem ontologischem Interesse, da ein Gymnasiast den ganzen Tag Ziffern ausgeben könnte, abhängig von den Rechenressourcen. Die interessantere Frage ist die Existenz der nicht berechenbaren Zahlen.

Antworten (2)

Kant hatte nur drei erkenntnistheoretische Kategorien, analytische a posteriori sind höchst problematisch (selbst Kripke spricht nur von notwendigem a posteriori). Was π betrifft, so wurde es ursprünglich als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser definiert und bezog sich erst zweitausend Jahre später auf Zahlen und Dezimalerweiterungen. Dennoch könnte man es als Zahl definieren, indem man eine von vielen Reihenerweiterungen, fortgesetzten Brüchen usw. verwendet, die zu Kants Zeit bekannt waren. Unabhängig davon, wie alle Arithmetik und Geometrie, sind alle diese Definitionen (oder vielmehr in ihnen implizierte Konstruktionen) a priori synthetisch, der Unterschied wäre nur, ob es sich um eine a priori-Synthese im Raum (Geometrie) oder in der Zeit (Arithmetik) handelt.

Kant gibt ein berühmtes Beispiel für ein ähnliches synthetisches Apriori in der Kritik der reinen Vernunft, 7+5=12 : „Der Begriff der Zwölf wird keineswegs nur gedacht, indem man an die Kombination von sieben und fünf denkt; und analysieren Sie diese mögliche Summe, wie wir können, werden wir zwölf in dem Konzept nicht entdecken. Wir müssen über diese Begriffe hinausgehen, indem wir ein konkretes Bild zu Hilfe rufen, also entweder unsere fünf Finger oder fünf Punkte (wie Segner es in seiner Arithmetik hat), und wir müssen die Einheiten der fünf sukzessive hinzufügen, gegeben in einer konkreten Vorstellung, dem Begriff der Sieben. Daher wird unser Begriff durch den Satz 7 + 5 = 12 wirklich erweitert, und wir fügen dem ersten einen zweiten hinzu, der nicht darin gedacht ist. Arithmetische Urteile sind daher synthetisch, und um so deutlicher, je größer wir die Zahlen nehmen ...". Offensichtlich kann einem lebenden Menschen die Zeit ausgehen, wenn wir größere Zahlen nehmen, um die erforderliche Intuition zu synthetisieren. Aber unser Verständnis hat auch die Fähigkeit, unbestimmte Erweiterungen unserer Intuition zu projizieren (wie zum Beispiel bei der mathematischen Induktion), damit wir intuitiv denken können dass es prinzipiell möglich ist Dieser letzte Teil wurde systematisch von Kants mathematischen Nachkommen, Hilbert und Intuitionisten entwickelt, siehe Gab es einen kantischen Einfluss auf Hilberts formalistisches Programm?

Hume hätte ebenfalls kein Problem, Logik und Mathematik sind für ihn Relationen von Ideen, und alles darin ist analytisch a priori, dh tautologisch. Kant war allzu optimistisch, als er schrieb: „ Denn dann hätte er erkannt, dass nach seiner eigenen Argumentation auch eine reine Mathematik, die sicherlich synthetische Sätze a priori enthält, nicht möglich sein würde; und vor einer solchen Behauptung hätte sein gesunder Menschenverstand bewahrt ihn", er hätte Humes Abhandlung lesen sollen, nicht nur seine Untersuchung. Es wäre eine interessantere Frage für Frege, für den Arithmetik a priori analytisch und Geometrie a priori synthetisch war, aber er würde wahrscheinlich sagen, dass die Gleichsetzung von geometrischem und analytischem π dort wird es synthetisch.“ Praktische Erwägungen beschäftigten traditionelle Erkenntnistheoretiker im Allgemeinen nicht, sei es Plato, Hume, Kant, Frege oder Husserl.

Die Frage ist jedoch auch aus moderner Perspektive interessant. Wenn alles Wissen empirisch ist, wie Quines eingebürgerte Epistemologie behauptet, und π eine weitere fundamentale Naturkonstante ist, wie kommt es dann, dass wir die Lichtgeschwindigkeit messen müssen, während keine physikalischen Messungen erforderlich sind, um π mit irgendeiner Genauigkeit zu berechnen? Siehe Ist Geometrie mathematisch oder empirisch?

Kant berührt sie in der ersten Kritik schräg; Cavailles erweitert es – er verwendet Kreise, während Kant Dreiecke verwendete.

Das erste pi ist, wie die Kommentare bereits betont haben, nicht durch einen Dezimalausdruck definiert; es ist geometrisch als Verhältnis definiert.

Daher a priori , aber auch synthetisch , da es die Themen synthetische Konstruktion des geometrischen Raums berücksichtigen muss - das kartesische Theater.

Daher würde er Pi a priori als synthetisch beurteilen .

Ich würde diesen Punkt als den Punkt nehmen, an dem Gauß die von Kant eingeführte „Nachlässigkeit“ nahm, um nicht-kartesische Räume zu theoretisieren.

Wie jeder Schuljunge oder jedes Schulmädchen weiß, ergeben die Innenwinkel eines Dreiecks 180 Grad; aber Kant widerspricht und sagt, dass dies nicht unbedingt so ist, aus rein apriorischen Gründen; Cavailles, der Kant folgte oder vielmehr seinen Gedankengang erweiterte, führte das Beispiel eines Kreises ein, und es scheint, als würde das gleiche Argument für pi gelten .

Pi erfordert keine Geometrie, um definiert zu werden, es ist nur zufällig zuerst in der Geometrie aufgetreten.
@Mozibur Ullah Es scheint, dass Kant zur Schule gehen sollte, oder?
@Mozibur Ullah Ich denke schon.
@Era Warum benötigt Pi keine Geometrie, um definiert zu werden?
@RamTobolski es kann auf verschiedene Arten definiert werden, von denen nicht alle geometrisch sind. Sie kann beispielsweise als Grenzwert einer unendlichen Reihe definiert werden. Es gibt auch eine Definition, die von der Wahrscheinlichkeit herrührt, obwohl ich denke, dass man tatsächlich etwas Geometrie verwendet.
@MoziburUllah Die Arcsin- und Arctan-Definitionen dieser Funktionen sind unendliche Seriendefinitionen , dh sie verwenden nicht die geometrischen Definitionen dieser Funktionen. In ähnlicher Weise kann jede Definition, die diese oder andere transzendente Funktionen verwendet (wie das letzte Beispiel auf dieser Seite), mithilfe der Reihenerweiterung neu formuliert werden. Am Ende entsteht etwas Hässliches, aber es ist korrekt und nicht geometrisch.
@MoziburUllah Ich kann sehen, wie es kreisförmig erscheint, ist es aber nicht. In der Mathematik ist es unerheblich, wie etwas überhaupt hergeleitet wurde. Da Definitionen Äquivalenzen sind, können wir sie in beide Richtungen gehen lassen – dh wir können wählen, mit welchen Definitionen wir beginnen und alle anderen ableiten. Es ist allgemein bekannt, dass die Mathematik nicht über einen einzigen grundlegenden Satz von Axiomen verfügt. Eine Person kann somit Wissen über Pi und seine Eigenschaften haben, ohne irgendetwas über Geometrie zu wissen.
@muz: es ist kaum irrelevant, wenn man sich das genealogische Bild der Mathematik ansieht; das Wort, das dort oft an einem Punkt der Veränderung verwendet wird, ist Motivation ; es ist auch das Bild, das für die Pädagogik verwendet wird. Aber belassen wir es dabei, Kommentare dienen nicht wirklich der Argumentation, sondern der Klarstellung.
Was auch immer Ihre grundlegende Vorstellung von Pi ist, es ist immer noch keine Folge von Dezimalerweiterungen. Selbst wenn es die Grenze einer Folge ist, ist diese Folge nicht ihre Menge von Dezimalerweiterungen.
@jobermark: einverstanden; es fällt mir jedoch ein, dass, obwohl wir unendliche ganze Zahlen nicht ineinander teilen, eine solche Teilung rigoros gemacht werden könnte, indem eine Grenze einer Folge von Teilteilungen definiert wird; dennoch denke ich, dass die geometrische Definition, wenn man eine freie Wahl treffen müsste, am besten ist; weil es Zahlen mit Geometrie verknüpft, ist es historisch korrekt; man muss sich nur die Geometrisierung der Zahlentheorie durch Schemata oder die Physik durch die Eichtheorie ansehen, um zu sehen, dass „geometrisch werden“ eine übergreifende mathematische Strategie ist – ich sage nicht Philosophie.
(Penrose tut das in der surrealen Zahlenkonstruktion.) Einverstanden. Ich habe nur darauf hingewiesen, dass Eras erster Einwand irgendwie nebensächlich ist. Welche Definition auch immer grundlegend ist, sie ist grundlegend, und die gegebene Motivation hat nichts mit dem vorliegenden Problem zu tun.
Ist die Zahl π empirisch oder a priori?
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