Ist die Raumzeit diskret oder kontinuierlich?

Ist die 4-dimensionale Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie diskret oder kontinuierlich?

In der üblichen Definition der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Raumzeit kontinuierlich. Die Allgemeine Relativitätstheorie ist jedoch eine klassische Theorie und berücksichtigt keine Quanteneffekte. Es wird erwartet, dass solche Effekte in sehr kurzen Entfernungen auftreten, wo Ihre Frage relevant ist.

Gibt es experimentelle Beweise für Kontinuität/Diskretheit?

Alle experimentellen Beweise deuten auf einen kontinuierlichen Raum hin, bis hinunter zu den kürzesten Entfernungen, auf denen wir messen konnten . Wir wissen nicht, was bei kürzeren Entfernungen passiert. Wir haben auch keine direkten experimentellen Beweise dafür, dass Gravitation eine Quantentheorie ist, mit der gleichen Einschränkung.

Andererseits sind wir ziemlich zuversichtlich, dass eine vollständige Naturtheorie die Quantengravitation und nicht nur die klassische Gravitation beinhalten muss. Und wir haben eine fundierte Vermutung der Entfernungsskala, bei der Quanteneffekte messbar werden sollten: Dies ist ungefähr die Planck-Länge$10^{-33}$cm. Das ist viel, viel kürzer als die kürzeste Entfernung, auf der wir Experimente durchführen können, also wundert es uns zumindest nicht, dass wir bisher keine solchen Effekte gesehen haben.

Bevor Sie fortfahren, noch eine Einschränkung. Es gibt ein interessantes und recht aktuelles astrophysikalisches Experiment, das zeigte, dass die Lorentz-Symmetrie sogar unterhalb der Planck-Länge gilt. Wenn die Lorentz-Symmetrie gebrochen ist, bedeutet dies im Allgemeinen, dass sich Photonen mit unterschiedlichen Energien mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fortbewegen. Bei dem Experiment gelang es ihnen, ein Paar Photonen zu entdecken, die fast gleichzeitig entstanden sind, aber sehr unterschiedliche Energien hatten. Sie erreichten den Detektor fast gleichzeitig, was bedeutet, dass ihre Geschwindigkeiten ähnlich waren. Da die Photonen eine enorme Strecke zurückgelegt haben, bevor sie uns erreichten, müssen sie fast die gleiche Geschwindigkeit gehabt haben.

Wir wissen also, dass zumindest die Lorentz-Symmetrie bei sehr kurzen Abständen gilt, und es scheint schwierig, diese experimentelle Tatsache mit einer diskreten Raumzeit in Einklang zu bringen. So scheint es zumindest naiv, dass dies ein Beweis gegen Diskretion ist.

Ist die Raumzeit kontinuierlich oder diskret?

Auf große Entfernungen kann man sich die Raumzeit durchaus als kontinuierlich vorstellen. Bei kurzen Distanzen lautet die kurze Antwort: Wir wissen es nicht.

Die Stringtheorie ist die einzige konsistente Theorie der Quantengravitation, die wir kennen, in der wir Dinge tatsächlich mit einiger Zuversicht berechnen können. (Sie werden wahrscheinlich einige Meinungen hören, die dieser Aussage widersprechen und Schleifenquantengravitation, kausale Mengen usw. erwähnen, die nichts mit der Stringtheorie zu tun haben, aber was ich gesagt habe, ist die gängige Ansicht in der Gemeinschaft der Hochenergietheoretiker.) String Die Theorie gibt uns einige starke Hinweise darauf, dass die Raumzeit in kurzen Entfernungen vielleicht nicht kontinuierlich oder diskret ist, aber etwas anderes, das wir noch nicht verstehen.

Die Situation ist also so, dass wir selbst theoretisch, ohne über tatsächliche Experimente zu sprechen, die die Theorie überprüfen, nicht wissen, wie die Raumzeit auf kurze Distanzen ist. Vielleicht sehen Sie diese Frage deshalb nicht oft erwähnt. Meine persönliche Vermutung ist, dass die Raumzeit auf kurze Distanz weder kontinuierlich noch diskret ist, sondern eine andere Natur hat, für deren Beschreibung möglicherweise neue mathematische Werkzeuge erforderlich sind.

Oder besser: Was wäre, wenn wir zusätzliche Dimensionen wie die Hypothesen der Stringtheorie berücksichtigen? Sind diese kompakten zusätzlichen Dimensionen diskret oder kontinuierlich?

Das Hinzufügen zusätzlicher Dimensionen ändert nichts an dem oben Gesagten.

Es gibt ein Argument, das als Weyls Kachelargument bekannt ist, das nicht Physik, sondern Philosophie ist, wirklich einfache Mathematik beinhaltet und Laien wie mir zugänglich ist. Trotzdem bin ich versucht, dies hier zu stellen, da es Ihre Frage beantwortet, obwohl dies wahrscheinlich nicht in ein Physikforum gehört.

In einem diskreten Raum, z. B. einem quadratisch/rechteckig gekachelten Raum, beginnen wir (der Einfachheit halber) damit, zwei Seiten eines Dreiecks zu konstruieren, von denen jede 1 Längeneinheit hat . Um die Hypotenuse von jedem Punkt aus zu durchqueren, müssen wir uns um eine Längeneinheit nach rechts (oder links) und eine Längeneinheit nach unten (oder oben) bewegen.

Angenommen, AC wird in 2 Schritten durchlaufen, AD, DC, wir haben eine Länge von 2 Einheiten entlang AC im gekachelten Raum.

Angenommen, wir erhöhen die Anzahl der Schritte von A nach C und verringern die Größe der Einheitslänge, dann würde der Pfad entlang AC so aussehen:

Die Länge entlang des Zickzackpfads über AC ist immer noch um den Faktor √2 größer als die Länge der Hypotenuse, was derselbe Faktor war, als wir eine viel größere Raumeinheit und nur 2 Schritte (n = 2) zum Durchqueren der Hypotenuse verwendeten !

Dies ist im Wesentlichen das Argument der Weyl-Fliese

Konvergiert das erstere Ergebnis nicht mit dem letzteren für beliebige Werte von n, kann man die prozentuale Differenz zwischen den beiden Ergebnissen untersuchen: (n√2 - n)⁄n√2 = 1-1⁄√2. Da sich n aufhebt, konvergieren die beiden Ergebnisse niemals, selbst im Grenzwert für große n.

Dies sagt uns, dass, egal wie klein wir eine Längeneinheit nehmen, nicht einmal eine infinitesimale Länge den Satz des Pythagoras in einem diskreten Raum annähern würde. Es stimmt aufgrund der einfachen Beobachtung, dass Sie in der Lage sein müssen, sich in jeder Richtung im Raum zu bewegen, in diesem Beispiel 1/2 nach rechts und 1/2 nach unten (45 °). gleichzeitig für eine Einheit , und nicht eine Einheit nach rechts, dann eine Einheit nach unten, was passiert, wenn wir die Länge diskretisieren. Damit der Satz des Pythagoras funktioniert, darf eine feste Länge, die in einer Richtung gemessen wird, nicht variieren, wenn sie in einer anderen Richtung gemessen wird. Dies wird als Isotropie bezeichnetdes Raumes, der eine Eigenschaft des Kontinuums ist. Diskrete Modelle mit anderen als rechteckigen Strukturen können ebenfalls mit demselben Argument widerlegt werden.

In gewissem Sinne fällt dieses Argument nicht den unwiderlegbaren Behauptungen zum Opfer, dass es Diskretion gibt, sondern jenseits unserer experimentellen Beobachtungsfähigkeit. Dabei spielt es keine Rolle, wie klein die „Körner“ oder „Pixel“ sein mögen.

Nehmen Sie 3 Stöcke, zwei davon mit einer Länge von 1 Meter und einer von ca. 1,414 Meter, alle entlang einer gemeinsamen Achse gemessen. Versuchen Sie, ein rechtwinkliges Dreieck zu bilden, wenn die Hypotenuse das Dreieck weit verfehlt oder sich nach einer Drehung darüber hinaus erstreckt, (heh) Sie befinden sich in einem Universum mit diskretem Raum.

Über Zeit

Die Relativitätstheorie selbst beobachtet tatsächlich nur, dass es „Bewegung“ gibt, und „nimmt an“, dass es „Zeit“ gibt.

Wenn ich zum Beispiel sage „Der Bus kommt hier um 9 Uhr an“, meine ich implizit, dass das Zeigen des kleinen Zeigers meiner Uhr auf 9 Uhr und die Ankunft des Busses gleichzeitige Ereignisse sind

Dies scheint vollkommen akzeptabel, es sei denn, Sie erkennen, dass wir die Koordinaten (Ort) einer Sache mit einer Sache namens „Zeit“ vergleichen.

Aber tatsächlich werden die Koordinaten einer Sache (eines Busses) nur mit den Koordinaten einer anderen Sache verglichen (die Position eines rotierenden Zeigers oder der Impuls in der Schaltung im Falle einer Digitaluhr).

Der Punkt ist, dass Raumkoordinaten verwendet werden, um die Zeit zu messen, also könnte man sagen, dass sie wirklich dasselbe sind. Wenn der Raum kontinuierlich ist, ist es auch die Zeit.

Es gibt eine schöne Theorie der Quantengravitation namens "Kanonische Quantengravitation", die darauf abzielt, die allgemeine Relativitätstheorie mit typischen kanonischen Methoden (kanonische Quantisierung/Pfadintegralformulierung) zu quantisieren. Diese Theorie sagt eine körnige Struktur der Raumzeit voraus, während die lokale Lorentz-Invarianz beibehalten wird. Die Theorie liefert ein Spektrum von Eigenwerten für quantisierte Fläche und Volumen auf der Grundlage von Penroses Spin-Netzwerk-Graphen, außer dass die Theorie Äquivalenzklassen von Spin-Netzwerken unter Diffeomorphismen berücksichtigt. Die Pfad-Integral-Formulierung der Theorie besteht in der Betrachtung einer völlig hintergrundunabhängigen Summe über Geometrien, die in Summe über 2-Komplexe durchgeführt wird, die selbst Graphen sind. Hier ist eine kleine Sammlung von Vorträgen, die Sie interessieren könnten: http://arxiv.org/abs/1102.3660

Antwort auf den Kommentar von OP: Es gibt bisher keine experimentellen Tests der Quantengravitation, die wir kennen, sei es, weil wir nicht wissen, wie wir das interpretieren sollen, was wir bereits vor uns haben, oder weil wir einfach nicht über die Technik verfügen Kraft/Kreativität, obwohl es eine Reihe neuer Arbeiten gibt, die Experimente vorschlagen, die am LHC für die kanonische Quantengravitation durchgeführt werden können, die mit der Verdunstung von Mikro-Schwarzen Löchern und ihren Strahlungsspektren zu tun haben, die sich von den klassischen Spektren unterscheiden von QFT in gekrümmter Raumzeit vorhergesagt. Die kanonische Quantengravitation ist auch die einzige Mainstream-Theorie der QG auf dem Tisch, die falsifizierbare, numerische Vorhersagen liefert, die neuartig sind; Zumindest habe ich noch nichts anderes in den Foren und arxiv gesehen, das dies tut, also bedeutet das nicht viel.

Die Vorstellung, dass die Raumzeit eine fundamentale Länge hat, lässt sich nicht unbedingt in eine diskretisierte Struktur übersetzen.

Lassen Sie uns dies intuitiv in Form von Pfadintegralen denken (nehmen wir eindimensionale Pfade an und vergessen wir vorerst die stringente Struktur, ist für die Diskussion nicht relevant). Wenn wir Pfadintegrale durchführen, nehmen wir normalerweise alle kinematischen Pfade des Systems im Konfigurationsraum (was normalerweise als Off-Shell-Zustände bezeichnet wird), weisen eine Amplitude zu, die durch die dynamische Aktion gegeben ist, und summieren sie alle, um physikalisch beobachtbare Amplituden zu erhalten (die on -Shell-Zustände)

Nun setzt die Planck-Skala eine natürliche Grenze für On-Shell-Zustände, weil Pfade mit Energien oberhalb dieser Skala zu Schwarzen Löchern im Pfad führen müssen (oder dem Quantengravitationsäquivalent von Schwarzen Löchern, was auch immer diese sein mögen). In Ihren Amplituden für On-Shell-Zustände erhalten Sie also Systeme, die keine beobachtbare Struktur jenseits der Planck-Skala haben, und tatsächlich macht eine Erhöhung der Energie es noch schlimmer, weil es die resultierenden Schwarzen Löcher größer macht. Aber sie leben dennoch in einem Lorentz-invarianten Hintergrund

Nun, all dies ist spekulativ und wahrscheinlich kein ganz korrektes Bild, aber mein Punkt ist, dass eine endliche minimale physikalische Skala einem kontinuierlichen Lorentz-invarianten Hintergrund nicht widerspricht

Für die vier Dimensionen der Raumzeit, an die wir gewöhnt sind, sind Atome der Raumzeit mit der speziellen Relativitätstheorie nicht kompatibel. Wenn wir versuchen würden, eine Größe dieser Körner der Raumzeit zu beanspruchen, müssten wir auch sagen, in welchem ​​Bezugssystem sie diese Größe haben. Sie führen also einen bevorzugten Bezugsrahmen ein. Nach meinem Verständnis führt die Supersymmetrie völlig diskrete Dimensionen der Raumzeit ein, aber diese unterscheiden sich radikal von den Dimensionen, an die wir gewöhnt sind. Hier ist eine viel bessere Diskussion des Themas von einem der führenden Theoretiker der Welt.

Um Ihre Frage zu beantworten, kann die Raumzeit kontinuierlich oder diskret sein; Sie können nicht sagen, ob die Mathematik des letzteren mit der des ersteren konvergiert. Nun möchte ich in Bezug auf das Kachelparadox von Weyl auf Folgendes hinweisen. Was das Argument zeigt, ist, dass der Abstand in der diskreten Geometrie des Gitters nicht zu dem Abstand in der kontinuierlichen Geometrie der Ebene unter der Grenze über eine Folge von Verfeinerungen der Gitter in immer kleinere Quadrate konvergiert. Die Fehlanpassung wird jedoch durch die Auswahl – und Beibehaltung – bestimmter Richtungen für die Achsen des Gitters verursacht. Es sollte nicht überraschen, dass dies einen anisotropen Effekt erzeugt. Was ist, wenn das Limit über einem Array liegt?von Gittern, die sie nicht nur in immer kleinere Quadrate verfeinert, sondern auch um immer kleinere Winkel dreht? Dann konvergiert die Differenz zwischen den Abständen entlang der Gitter und dem euklidischen Abstand gegen Null im Sinne von$\lim\inf$.

Ich habe hier einige Details geschrieben: http://inperc.com/wiki/index.php?title=Convergence_of_the_discrete_to_the_continuous .

Seit 2014 gemäß einer bestimmten mathematischen physikalischen Gleichung und einem Theorem, beschrieben in:

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.114.091302 , Vorabdruck https://arxiv.org/abs/1409.2471

mit Nachweis drin

https://link.springer.com/article/10.1007%2FJHEP12%282014%29098 , Vorabdruck https://arxiv.org/abs/1411.0977 ),

man kann argumentieren, dass es eine geometrische Beschreibung der Lorentzschen Raumzeiten mit 4D-, 3D- oder 2D-Volumen gibt, die in ganzzahligen Werten von Planckschen Einheiten quantisiert sind .

Neben den physikalischen Konsequenzen liefern diese verschiedenen Aspekte der Raumzeit-Diskretion jeweils "Quantisierung der kosmologischen Konstante, mimetische Dunkle Materie und Flächenquantisierung von Schwarzen Löchern ", so die Autoren der zitierten Arbeiten: Ali Chamseddine, Alain Connes und Viatcheslav Mukhanov (jeweils theoretischer Physiker, Mathematiker und Kosmologe).

Die Einzelheiten der Berechnungen zum Zusammenhang zwischen mimetischer dunkler Materie und dunkler Energie mit Diskretion von 3D- oder 4D-Volumen finden Sie unter https://arxiv.org/abs/1702.08180

Wenn bei der Suche nach Teilchen der Dunklen Materie keine Ergebnisse erzielt werden und die mimetische Gravitationsphänomenologie mit astronomischen Multimessenger-Beobachtungen kompatibel bleibt ( https://arxiv.org/abs/1811.06830 ), könnte sich die Diskretion der Raumzeit als relevante Hypothese herausstellen.

Man kann bemerken, dass der Hochenergiephysiker John Iliopoulos, der 1974 einen denkwürdigen "Plenary Report on Progress in Gauge Theories" verfasste, der den Weg zur Vollendung des aktuellen Standardmodells der Teilchen ebnete ( http://inspirehep.net/record/ 3000/files/c74-07-01-p089.pdf …) hat kürzlich berichtet, dass dieser geometrische Rahmen „möglicherweise einen neuen Einblick in die Mysterien der dunklen Materie und dunklen Energie bietet“ ( https://www.epj-conferences. org/articles/epjconf/abs/2018/17/epjconf_icnfp2018_02055/epjconf_icnfp2018_02055.html )

Natürlich sollte diese letzte Bemerkung nicht als autoritatives Argument verstanden werden, sondern soll zeigen, dass dieses geometrische Paradigma, das fast orthogonal zum aktuellen in der (Astro-)Teilchenphysik-Community ist, es nicht irrelevant macht!