Ist die Raumzeit mathematisch definiert, ohne die ccc-Geschwindigkeit zu verwenden?

Gibt es eine mathematische Definition der Raumzeit, die c-Geschwindigkeit nicht als Umrechnungsfaktor verwendet oder das Raumzeitintervall einbezieht?

Ja absolut! Die Quantität$c$ist wirklich nur ein Einheitenumrechnungsfaktor. Wenn wir ein Koordinatensystem verwenden$t,x,y,z$mit$t$ausgedrückt in Zeiteinheiten und$x,y,z$ausgedrückt in Längeneinheiten, dann müssen wir verwenden$c$in einigen Gleichungen, um die Einheiten auszugleichen, wie in dieser Gleichung für die Eigenzeit$\tau$:

$$d\tau^2 = dt^2 - \frac{dx^2+dy^2+dz^2}{c^2}. \tag{1}$$ (Hier,$d\tau$ist das Eigenzeitinkrement entlang eines Stücks der Geschichte des Objekts, und$dt,dx,dy,dz$sind die entsprechenden Koordinateninkremente.) Wir können aber auch ein Koordinatensystem verwenden$t,x,y,z$(Ich recycel die Buchstaben) mit allen vier Koordinaten, die in denselben Einheiten ausgedrückt werden . Dann wird Gleichung (1). $$d\tau^2 = dt^2 - (dx^2+dy^2+dz^2). \tag{2}$$ Tatsächlich ist dies die Art und Weise, wie Physiker normalerweise Dinge in der Allgemeinen Relativitätstheorie tun (wie Ben Crowells Kommentar sagte). Wir können entweder ausdrücken$\tau,t,x,y,z$alle in Zeiteinheiten, oder wir könnten sie alle in Längeneinheiten ausdrücken.

Die Begründung dafür ist im Wesentlichen dieselbe wie die Begründung für die Angabe sowohl vertikaler Entfernungen als auch horizontaler Entfernungen in denselben Einheiten. Wir könnten vertikale Entfernungen in Metern und horizontale Entfernungen in Fuß ausdrücken, aber dann müssten wir einen umständlichen Einheitenumrechnungsfaktor in die Gleichung für das Längeninkrement aufnehmen$d\ell$im 3D-Raum, so:

$$d\ell^2 = \frac{dx^2+dy^2}{a^2}+dz^2 \tag{3}$$ Wo$a$ist der Umrechnungsfaktor, der horizontale und vertikale Entfernungseinheiten in Beziehung setzt. Dank der Rotationssymmetrie ist es aber natürlicher, für beide Entfernungsarten die gleichen Einheiten zu verwenden – zumal die meisten Entfernungen weder vertikal noch horizontal sind, sondern irgendwo dazwischen liegen. Wir könnten also genauso gut die gleichen Einheiten für beide verwenden und die Entfernungsgleichung einfach so schreiben: $$d\ell^2 = dx^2+dy^2+dz^2. \tag{4}$$ Die Differenz zwischen den Gleichungen (1) und (2) ist dieselbe wie die Differenz zwischen den Gleichungen (3) und (4). Im Falle der Gleichungen (1) und (2) ist die Lorentz-Symmetrie der Grund, warum (2) natürlicher ist als (1), ebenso wie die Rotationssymmetrie der Grund ist, warum (4) natürlicher ist als (3). Lorentz-Symmetrie mischt die Koordinate$t$mit den Koordinaten$x,y,z$, genau wie die Rotationssymmetrie die Koordinaten mischt$x,y$mit der Koordinate$z$.