Warum ist ds2=0ds2=0ds^2=0 entlang des Weges eines Lichtstrahls in jeder Raumzeit, in jedem Bezugssystem, insbesondere nicht trägheitslos?

Question

Warum ist ds2=0ds2=0ds^2=0 entlang des Weges eines Lichtstrahls in jeder Raumzeit, in jedem Bezugssystem, insbesondere nicht trägheitslos?

EdRich

In der Minkowski-Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie ist ersichtlich, dass entlang des Weges eines Lichtstrahls $ds^2=0$ in jedem Trägheitsbezugssystem angesichts der Lorentz-Transformationen und der Invarianz von $ds^2$ . Dies erscheint mir jedoch im Zusammenhang mit einer gekrümmten Raumzeit nicht so offensichtlich, da meines Wissens alle Referenzrahmen nicht inertial sind. Ich habe dies im Zusammenhang mit gekrümmten Raumzeiten als Tatsache angesehen und bin noch nicht auf eine Rechtfertigung dafür gestoßen.

FRAGE: Gibt es dafür einen strengen mathematischen Beweis? $ds^2=0$ entlang des Weges eines Lichtstrahls, in jeder Raumzeit, in jedem Bezugssystem, oder ist das eine unumstößliche Tatsache?

Hinweis: Ich gehe davon aus, dass sich das irgendwie mathematisch beweisen lässt und würde mich sehr dafür interessieren, was der Beweis/die Logik dahinter steckt. Außerdem ist die einzige gekrümmte Raumzeit, mit der ich ausreichend vertraut bin, die durch die Schwarzschild-Metrik beschriebene.

Benutzer12262

EdRich: " Raumzeitintervall des Lichts, in jeder Raumzeit " -- Von der Wikipedia-Seite Raumzeitintervalle im flachen Raum und von mehreren Diskussionen hier wurde mir gegeben, dass Raumzeitintervalle zu verstehen sind

S^{2} : S \times S \to R

$s^2 : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R$ sind streng nur für flache Raumzeiten definiert . (Einige Variante, die in Lorentzschen Raumzeiten mit willkürlicher Krümmung anwendbar wäre, wäre die " Lorentzsche Distanz ".) Folglich erscheinen Ihre Fragen schlecht gestellt.

EdRich

@ user12262 Ich glaube, Sie haben Recht und ich habe eine Änderung vorgenommen, um dies zu beheben. Ich bezog mich auf das infinitesimale Linienelement

d s^{2}

$ds^2$ entlang eines Lichtstrahls und nicht des ganzzahligen Raumzeitintervalls des Minkowski-Raums. Danke für den Hinweis auf die notwendige Klarstellung.

Benutzer12262

EdRich: " Danke für den Hinweis auf die notwendige Klarstellung. " -- Gern geschehen. " Ich habe eine Änderung vorgenommen, um dies zu beheben. " -- Vielen Dank für Ihre Antwort. +1. Aber vielleicht können Sie verstehen, dass ich nicht ganz zufrieden bin: „ Ich bezog mich auf das infinitesimale Linienelement $ds^2$ entlang eines Lichtstrahls " -- Was bedeutet das überhaupt?? Was genau könntest du möglicherweise damit meinen "

d s^{2}

$ds^2$ " in den Einstellungen, in denen

s^{2}

$s^2$ ist explizit nicht definiert? Warum stellen Sie keine anwendbare Frage zur Lorentz-Distanz?

ℓ

$\ell$ stattdessen?!? Aber zugegeben, meine Beschwerde geht über Ihre konkrete Frage hinaus ...

EdRich

@ user12262 die Metrik -

d s^{2}

$ds^2$ beschreibt physikalisch die Länge zwischen zwei infinitesimal getrennten Punkten in einer gegebenen Raumzeit, also ist das die "Entfernung", auf die ich mich beziehe. Ich glaube, dann ist s einfach das Raumzeitintervall zwischen 2 Punkten in einer bestimmten Raumzeit und kann durch Integration einer bestimmten Metrik gefunden werden. Ich habe mir den von Ihnen bereitgestellten Link angesehen, bin mir jedoch nicht sicher, was die Lorentz-Distanz wirklich ist oder wie sie in den Kontext passt, in dem ich die Frage stelle. Ich könnte mich jedoch in meinen obigen Interpretationen irren.

Benutzer12262

EdRich: " $ds^2$ beschreibt physikalisch die Länge zwischen zwei infinitesimal getrennten Punkten in einer gegebenen Raumzeit " -- Wenn es tatsächlich zwei unterschiedliche (getrennte) Punkte (Ereignisse) gibt, sollten wir sie explizit als zwei Argumente dazu ausbuchstabieren (verallgemeinert) " Länge " (Quadrat), und vielleicht das Seltsame fallen lassen

d

$d$ vor. Außerdem: Experimentatoren möchten gerne wissen, wie sie feststellen können, ob zwei unterschiedliche Ereignisse, die betrachtet werden, " infinitesimal getrennt " oder nur "getrennt" sind. " Was ist die Lorentz-Distanz wirklich ?" - Überprüfen Sie google.com/#q=beem+ehrlich+easley+distance

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Warum ist ds2=0ds2=0ds^2=0 entlang des Weges eines Lichtstrahls in jeder Raumzeit, in jedem Bezugssystem, insbesondere nicht trägheitslos?

EdRich: " Raumzeitintervall des Lichts, in jeder Raumzeit " -- Von der Wikipedia-Seite Raumzeitintervalle im flachen Raum und von mehreren Diskussionen hier wurde mir gegeben, dass Raumzeitintervalle zu verstehen sind $S^{2} : S \times S \to R$ $s^2 : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R$ sind streng nur für flache Raumzeiten definiert . (Einige Variante, die in Lorentzschen Raumzeiten mit willkürlicher Krümmung anwendbar wäre, wäre die " Lorentzsche Distanz ".) Folglich erscheinen Ihre Fragen schlecht gestellt.
@ user12262 Ich glaube, Sie haben Recht und ich habe eine Änderung vorgenommen, um dies zu beheben. Ich bezog mich auf das infinitesimale Linienelement $ds^2$ entlang eines Lichtstrahls und nicht des ganzzahligen Raumzeitintervalls des Minkowski-Raums. Danke für den Hinweis auf die notwendige Klarstellung.
EdRich: " Danke für den Hinweis auf die notwendige Klarstellung. " -- Gern geschehen. " Ich habe eine Änderung vorgenommen, um dies zu beheben. " -- Vielen Dank für Ihre Antwort. +1. Aber vielleicht können Sie verstehen, dass ich nicht ganz zufrieden bin: „ Ich bezog mich auf das infinitesimale Linienelement $ds^2$ entlang eines Lichtstrahls " -- Was bedeutet das überhaupt?? Was genau könntest du möglicherweise damit meinen " $ds^2$ " in den Einstellungen, in denen $s^2$ ist explizit nicht definiert? Warum stellen Sie keine anwendbare Frage zur Lorentz-Distanz? $\ell$ stattdessen?!? Aber zugegeben, meine Beschwerde geht über Ihre konkrete Frage hinaus ...
@ user12262 die Metrik - $ds^2$ beschreibt physikalisch die Länge zwischen zwei infinitesimal getrennten Punkten in einer gegebenen Raumzeit, also ist das die "Entfernung", auf die ich mich beziehe. Ich glaube, dann ist s einfach das Raumzeitintervall zwischen 2 Punkten in einer bestimmten Raumzeit und kann durch Integration einer bestimmten Metrik gefunden werden. Ich habe mir den von Ihnen bereitgestellten Link angesehen, bin mir jedoch nicht sicher, was die Lorentz-Distanz wirklich ist oder wie sie in den Kontext passt, in dem ich die Frage stelle. Ich könnte mich jedoch in meinen obigen Interpretationen irren.
EdRich: " $ds^2$ beschreibt physikalisch die Länge zwischen zwei infinitesimal getrennten Punkten in einer gegebenen Raumzeit " -- Wenn es tatsächlich zwei unterschiedliche (getrennte) Punkte (Ereignisse) gibt, sollten wir sie explizit als zwei Argumente dazu ausbuchstabieren (verallgemeinert) " Länge " (Quadrat), und vielleicht das Seltsame fallen lassen $d$ vor. Außerdem: Experimentatoren möchten gerne wissen, wie sie feststellen können, ob zwei unterschiedliche Ereignisse, die betrachtet werden, " infinitesimal getrennt " oder nur "getrennt" sind. " Was ist die Lorentz-Distanz wirklich ?" - Überprüfen Sie google.com/#q=beem+ehrlich+easley+distance

Jerry Schirmer · Answer 1

Im Allgemeinen beinhaltet eine Koordinatentransformation also die Angabe jeder Koordinate $x$ als Funktion der neuen Koordinaten $x^{\prime}$ :

X^{' μ} = F^{μ} (X^{v})

$x^{\prime\mu} = f^{\mu}(x^{\nu})$

Dies ergibt eine allgemeine Beziehung:

D S^{2} = G_{μ v} D X^{μ} D X^{v} = G_{μ v} (\frac{D X^{μ}}{D X^{' a}} D X^{' a}) (\frac{D X^{v}}{D X^{' β}} D X^{' β}) = G_{a β}^{'} D X^{' a} D X^{' β}

$ds^{2} = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} = g_{\mu \nu}\left(\frac{dx^{\mu}}{dx^{\prime\alpha}}dx^{\prime \alpha}\right)\left(\frac{dx^{\nu}}{dx^{\prime\beta}}dx^{\prime \beta}\right) = g_{\alpha \beta}^{\prime}dx^{\prime \alpha} dx^{\prime \beta}$

Wo wir das alte innere Produkt durch transformieren können $g$ in ein neues inneres Produkt, definiert durch $g^{\prime}$ . Also, wenn $ds^{2}=0$ in unserem alten Bezugssystem, dann ist es in unserem neuen Bezugssystem zwangsläufig Null. Sie können argumentieren, dass der Formalismus dazu dient, dies wahr zu machen, und Sie hätten Recht, aber das ist es, was die zugrunde liegende Mathematik der allgemeinen und speziellen Relativitätstheorie beschreibt.

Ich verstehe die Invarianz der metrischen Gleichung und ich verstehe die Logik hinter Ihrem Argument bei der Beantwortung meiner ursprünglichen Frage. Aber angesichts dessen, was Sie gesagt haben, nehme ich an, dass meine Frage jetzt lautet: Wenn das Raumzeitintervall für Licht in einem Trägheitssystem im Minkowski-Raum immer Null ist, können wir immer Koordinatenfunktionen zwischen dem Minkowski-Raum und jedem gekrümmten Raum finden und damit das Intervall abschließen? muss auch in jeder gekrümmten Raumzeit immer Null sein?
@EdRich: nein. Sie können Tensoren aus der Metrik berechnen, die koordinatenunabhängig sind, aber in gekrümmten Räumen ungleich Null, aber in nicht gekrümmten Räumen Null sind. Es gibt keine Koordinatentransformation, die die Schwarzschild-Metrik global auf die Minkowski-Metrik abbildet.
Also, für ein wirklich krasses Beispiel, $R_{abcd}R^{abcd}$ ist für jede gekrümmte Raumzeit, die ich mir vorstellen kann, ungleich Null, wird aber für jede Koordinatentransformation der Minkowski-Raumzeit Null sein.
Also, wenn ich dem folge, was du sagst, denn $ds^2=0$ entlang des Lichtstrahlpfades in der Minkowski-Raumzeit, dann muss dies für jede Raumzeit der Fall sein, da die metrische Gleichung, wie Sie gesagt haben, unveränderlich ist? Ist es so einfach?
Verstanden. Ich habe die Bedeutung von invariant anscheinend nicht wörtlich genug in dem Sinne genommen $ds^2$ gilt in jedem beliebigen Koordinatensystem, unabhängig davon, ob es eine flache oder gekrümmte Raumzeit beschreibt. Ich hatte mich fälschlicherweise selbst überzeugt $ds^2$ war nur in Bezug auf 2 Referenzsysteme in derselben Raumzeit invariant und es war komplizierter im Fall einer flachen relativ zu einer gekrümmten Raumzeit. Vielen Dank für die Hilfe bei der Klärung.
@EdRich. Ich möchte das nicht verkomplizieren, aber in Ihrem letzten Kommentar denke ich, dass es falsch angegeben ist. Es stimmt tatsächlich (ich glaube im Gegensatz zu dem, was Sie sagen), dass ds nur in der gleichen Raumzeit invariant gegenüber Koordinatentransformationen ist. Eine andere Raumzeit hat eine andere Form für ds, und wenn Sie irgendwie dieselben Koordinaten wie in der ersten Raumzeit verwenden, erhalten Sie einen anderen Wert von ds. Und ja, ds ist für gekrümmte oder flache Raumzeiten unveränderlich (aber wenn Sie von gekrümmt zu flach gehen, ändert sich etwas).
@EdRich. Übrigens ist ein weiteres Argument, dass ds für Licht in den speziellen relativistisch ähnlichen lokalen Trägheitskoordinaten 0 ist, und da es unveränderlich ist, ist es 0 für andere Koordinaten am selben physischen Punkt (oder in der Nachbarschaft), selbst für gekrümmte Raumzeiten. An jedem Punkt können Sie diesen lokalen Inertialrahmen so wählen, dass er die Metrik g = Minkowski und seine Ableitungen an diesem Punkt = 0 hat
@BobBee Ich verstehe, was du mit meinem Missverständnis sagst und dass ich es anfangs auch so verstanden habe. Vielleicht wurde die implizite Logik hinter der Antwort missbraucht. Ich verstehe auch Ihren zweiten Kommentar und habe dieses Argument in einigen Lehrbüchern rigoros hergeleitet gesehen. Ich danke Ihnen für Ihren besorgten Beitrag.

Javier · Answer 2

Wenn Sie einen wirklich rigorosen Beweis wollen, dann ist die Antwort, dass es tatsächlich nicht wahr ist, dass Lichtstrahlen haben $ds^2 = 0$ , weil es in einer gekrümmten Raumzeit keine allgemeine Vorstellung von einem Lichtstrahl gibt.

Was Sie tun müssten, ist die Maxwell-Gleichungen in einem gekrümmten Hintergrund zu lösen; Unter der Annahme, dass die typische Längenskala des Feldes (also die Wellenlänge) viel kleiner ist als die Längenskala der Raumzeitkrümmung, erhalten Sie so etwas wie die Wellengleichung, und Sie können so tun, als wäre Ihre Welle ein Lichtstrahl. Wenn Sie dies tun, stellt sich heraus, dass die Welle vier Vektor ist $k^\mu$ dieser Welle/Strahl muss null sein ( $k_\mu k^\mu = 0$ ), was dasselbe ist, wie das zu sagen $ds^2 = 0$ entlang des Strahls. Einen Einblick in die Feinheiten davon finden Sie zum Beispiel in diesem Beitrag .

Es gibt jedoch einen anderen Weg, dies zu erreichen, wenn Sie bereit sind zu akzeptieren, dass es in der speziellen Relativitätstheorie so etwas wie einen Lichtstrahl gibt. Das Argument beruht auf der Tatsache, dass jede Mannigfaltigkeit lokal flach ist; Um es in physikalische Worte zu fassen: In einer gekrümmten Raumzeit können Sie Koordinaten in der Nähe eines Punktes auswählen, sodass die Metrik die von SR in erster Ordnung ist und an Ihrem gewählten Punkt genau die Minkowiski-Metrik ist. Das sagst du einfach in diesen speziellen Koordinaten $ds^2 = 0$ , und da $ds^2$ ein Skalar ist, wird er unabhängig vom Koordinatensystem Null sein.

Hier kann eine begriffliche Unterscheidung getroffen werden, nämlich Lichtgeschwindigkeit vs. Kausalitätsgeschwindigkeit. Letzteres ist die maximale Geschwindigkeit, mit der sich Dinge bewegen können, und fast per Definition sind die Pfade mit maximaler Geschwindigkeit diejenigen, mit denen sie fahren können $ds^2=0$ ; Dies liegt daran, dass die Struktur der Relativitätstheorie diese Geschwindigkeitsbegrenzung erzwingt. Es passiert einfach so, dass sich Licht mit dieser maximalen Geschwindigkeit fortbewegt (Teilchenphysiker werden an dieser Stelle die Masselosigkeit des Photons erwähnen), aber es gibt keinen grundlegenden Grund dafür .

Sie haben Null-Geodäten in einer gekrümmten Raumzeit, was zumindest in der geometrischen Grenze genauso ein Begriff eines "Lichtstrahls" ist wie alles andere.
@Jerry: Darauf habe ich in meinem letzten Absatz versucht, obwohl es vielleicht nicht richtig herausgekommen ist. Der Punkt ist, dass Sie, wenn Sie wirklich streng werden wollen, zeigen müssen, dass sich Lichtstrahlen auf Null-Geodäten ausbreiten.
@Javier, das macht für mich mehr Sinn, wie man das zeigen müsste, scheint aber furchtbar schwierig zu sein. Außerdem habe ich, wie ich in einem anderen Kommentar erwähnt habe, die ungefähre lokale Ebenheit erster Ordnung gekrümmter Raumzeiten nachgeschlagen, was meiner Meinung nach als ausreichende Rechtfertigung für mich dient. Ich mag auch die Idee hinter Ihrem letzten Kommentar. Ich werde mir das merken.

Warum ist ds2=0ds2=0ds^2=0 entlang des Weges eines Lichtstrahls in jeder Raumzeit, in jedem Bezugssystem, insbesondere nicht trägheitslos?

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