Ist eine gegebene Ladungsdichte eine Oberflächenladungsdichte oder eine Volumenladungsdichte?

Die genaue Frage lautet wie folgt:

In einer bestimmten Elektronenröhre werden Elektronen von einer heißen ebenen Metalloberfläche emittiert und von einer ebenen Metallebene parallel zum Emitter in einem Abstand gesammelt D weg. (Die Distanz D ist klein im Vergleich zu den seitlichen Abmessungen der Platten)

Das elektrische Potential zwischen den Platten ist gegeben durch φ = k X 4 / 3 Wo X ist die Entfernung vom Sender.

a) Wie groß ist die Oberflächenladungsdichte? σ am Sender? Auf dem Kollektor?

b) Wie groß ist die Volumenladungsdichte? ρ ( X ) für 0 < X < D ?

Jetzt habe ich versucht, einfach einen Laplace-Operator für das elektrische Potential zu machen, damit es mir eine Ladungsdichte gibt. Aber ich bin verwirrt.

Indem ich Laplace auf das elektrische Potential nehme, würde es mir geben:

∇ 2 φ = − ρ ε 0

Wo ρ ist die Ladungsdichte. Woher weiß ich, ob es die Oberflächenladungsdichte oder die Volumenladungsdichte ist?

Antworten (2)

Diese Gleichung gibt Ihnen immer eine Volumenladungsdichte. Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, dass Oberflächenladungsdichte und Volumenladungsdichte unterschiedliche Einheiten haben - C / M 2 Und C / M 3 bzw. - und damit die Einheiten konsistent sind, ρ muss letzteres sein. Die Tatsache, dass die Gleichung mit geschrieben wird ρ ist eine hilfreiche Erinnerung daran, dass es sich um eine Volumenladungsdichte handelt.

Denken Sie natürlich daran, dass das Potenzial nicht vorhanden ist k X 4 / 3 überall . Diese Funktion beschreibt nur das Potenzial innerhalb einer bestimmten Region. Man muss auch darüber nachdenken, was außerhalb dieser Region und an den Grenzen der Region passiert.

Wenn Sie versuchen, die Poisson-Gleichung zu lösen ∇ 2 φ = − ρ / ϵ 0 In einem Bereich, in dem sich das Potenzial nicht so gut verhält (wie Sie es hier tun müssen, wenn Sie an die Grenzen denken), erhalten Sie möglicherweise eine Lösung, die eine Delta-Funktion beinhaltet. Nur um ein Beispiel aus dem Nichts zu ziehen, so etwas wie

ρ ( X , j , z ) = δ ( X − L ) e − j 2 − z 2

Das ist die Signatur einer Oberflächenladungsdichte, die als Volumenladungsdichte ausgedrückt wird. σ der andere Teil als die Delta-Funktion ist; Im Algemeinen:

ρ ( X , j , z ) = δ ( X − A ) σ ( j , z )

In diesem rein hypothetischen Beispiel könnten Sie das also erkennen σ ( j , z ) = e − j 2 − z 2 .

Dies stimmt mit der Aussage überein, dass Oberflächenladungsdichten Diskontinuitäten im elektrischen Feld entsprechen, denn denken Sie daran, dass Sie die Poisson-Gleichung schreiben können als

∇ → ⋅ E → = ρ ϵ 0

Wenn E → ist diskontinuierlich, seine Ableitung ist "unendlich", und daher ρ muss als Produkt mit einer Deltafunktion dargestellt werden.

Ich schätze, ich hätte eine Erinnerung hinzufügen sollen, dass dies ein Erstsemesterkurs ist.
Die erste Antwort erwähnte, dass das Flugzeug "unendlich" groß sei. Sind also Überlegungen wie in der Nähe der Grenzen oder außerhalb der Region für den Umfang dieser Frage nicht unnötig?
(2 Kommentare hoch) Nun, wenn Sie einiges von diesem Zeug noch nicht gelernt haben, betrachten Sie es als einen kurzen Blick in die Zukunft ;-) aber alles in meiner Antwort ist Physik auf Erstsemester-Niveau. (1 Kommentar nach oben) Die Frage fragt nach der Ladungsdichte am Emitter und Kollektor, die sich an den Grenzen des Bereichs befinden, in dem Ihnen das Potenzial gegeben wird. Diese Überlegungen sind also sehr notwendig.

Da es sich um einen Leiter handelt, liegen die Ladungen an der Oberfläche. Die Aussage, dass D klein ist, gibt an, dass Sie dies als unendliche ebene Fläche modellieren sollen. Sie können das elektrische Feld direkt außerhalb des Leiters berechnen, indem Sie nehmen D φ D X Das elektrische Feld innerhalb des Leiters ist Null, weil es ein Leiter ist. Sie sollten eine Formel haben, die die Feldänderung beim Überqueren einer Oberflächenladungsdichte angibt.

Ok. Richtig, und indem Sie die Ableitung des berechneten elektrischen Felds nehmen, erhalten Sie die Ladungsdichte. Meine Frage war, wie Sie zwischen der "Oberflächen" -Dichte und der "Volumen" -Dichte unterscheiden, wie in der Frage angegeben.
In Leitern gibt es keine Volumenladungsdichte, da dies ein elektrisches Feld im Leiter aufbauen würde, das er nicht tragen kann. Wenn Sie einen Isolator haben, haben Sie möglicherweise eine Volumenverteilung (und würden dies erwarten).
Ja, ich verstehe, aber die Frage fragt speziell nach einer "Oberflächen" -Ladungsdichte auf den beiden Leitern. Aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das berechnen soll.
Sie haben das E-Feld zwischen den in der Aufgabe angegebenen Leitern, indem Sie die Ableitung des Potentials bilden. Sie wissen, dass das E-Feld in den Leitern Null ist. Dies gibt Ihnen eine Stufenänderung, wenn Sie die Oberfläche des Leiters überqueren, verursacht durch die Oberflächenladung. An dieser Stelle sage ich, dass Sie eine Gleichung für die schrittweise Änderung des E-Felds haben sollten, die durch eine Oberflächenladung verursacht wird.
Wenn Sie dies nicht tun, ziehen Sie einen Zylinder in Betracht, der die Oberfläche kreuzt und einen großen Durchmesser im Vergleich zur Höhe hat. Es gibt kein E-Feld durch die Seiten des Zylinders, nur durch die kreisförmigen Flächen. Verwenden Sie das Gesetz von Gauß, um den Unterschied im E-Feld zwischen den beiden Kreisen zu finden.
Ist eine gegebene Ladungsdichte eine Oberflächenladungsdichte oder eine Volumenladungsdichte?
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