Ist es möglich, den Erwartungswert einer physikalischen Observable direkt zu messen, ohne die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung zu messen?

Die direkte Messung von Erwartungswerten durch eine Einzelmessung ist nur für makroskopische Observablen möglich und wird für diese auch routinemäßig durchgeführt.

Die für alle makroskopischen Messungen aufgezeichneten Werte sind gemäß der statistischen Nichtgleichgewichtsmechanik die Gesamterwartungen makroskopischer Observablen wie Massendichten, Ströme oder Energiedichten.

Abgesehen davon gibt es die einzige Situation, in der Einzelmessungen Erwartungswerte ohne Näherung liefern, wenn eine Observable in einem Eigenzustand gemessen wird.

Insbesondere mit dem in der Prämienankündigung angegebenen Vorbehalt, keine zusätzlichen Annahmen oder Annäherungen zu treffen oder solche, die nur in bestimmten Fällen gelten (Sie sollten dies zu Ihrem - in seiner jetzigen Form nicht klar formulierten - Frage, da es einen wesentlichen Unterschied macht), ist die Antwort auf Ihre Frage negativ.

Ohne eine strenge Definition dessen, was eine Messung ist, kann es keinen Beweis geben. Eine solche Definition existiert nicht. Aber es gibt weder im Experiment noch in der Theorie einen Hinweis darauf, dass es möglich sein könnte.

Ich bin mir nicht sicher, wie allgemein eine Antwort sein soll, aber hier ist ein expliziter Beweis, dass dies für Standardmessungen von hermitischen Operatoren nicht möglich ist. Betrachten Sie einen beliebigen Operator$A$und nehmen wir an, wir wollen seinen Erwartungswert messen, indem wir einen anderen Operator messen$B$.

Nun, egal in welchem ​​Zustand wir uns befinden, wir messen$B$sollte uns immer einen eindeutigen Wert geben, den Erwartungswert. Dies ist nur möglich, wenn jeder Vektor ein Eigenvektor von ist$B$, wobei der Eigenwert (der entsprechende Messwert) gleich ist$\langle A \rangle$. Das heißt, wir wollen

$$B | v \rangle = \langle v | A | v \rangle |v \rangle.$$ Wir wissen sicher, dass wenn $A$hat dann einen bestimmten Wert $B$sollte auch denselben eindeutigen Wert haben, $$A | v \rangle = \lambda |v \rangle \quad \rightarrow \quad B |v \rangle = \lambda |v \rangle.$$ Aber seit $A$hermitesch ist, hat es eine vollständige Basis von Eigenvektoren, so dass diese Einschränkung allein vollständig bestimmt $B$; es muss gleich sein $A$. Dieser „Erwartungswert“-Operator kann also nicht existieren.

Erwartungswerte werden definiert

Im Allgemeinen wird der Erwartungswert für jede beobachtbare Größe gefunden, indem der quantenmechanische Operator für diese Observable in das Integral der Wellenfunktion über den Raum eingesetzt wird:

Eine Messung als Eigenwert sehen

Wenn es auf einen allgemeinen Operator Q angewendet wird, kann es die Form annehmen

bedeutet, dass man eine Instanz unter dem ersten Integral auswählt.

Du fragst:

Ist es möglich, nur den Erwartungswert einer Observablen zu messen, ohne die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung ihrer Eigenwerte messen zu müssen?

Bei Wellenfunktionen potentieller Probleme, wie z. B. den Lösungen des Wasserstoffatoms, fällt die Messung des Energiespektrums mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit auf einen der Energieeigenwerte der Lösung, da die Wellenfunktionen mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit auf die Eigenwerte von fallen die Energie. Somit identifiziert das Messen eines Energieniveaus die Ursprungswellenfunktion, ohne dass eine Wahrscheinlichkeitsverteilung akkumuliert werden muss.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass, wenn die Wellenfunktion in einigen Variablen diskrete Eigenwerte enthält, die Messung dieser auch die Wellenfunktion identifiziert.

Wir können den Erwartungswert eines Operators „messen“, indem wir ihn wiederholt messen und den Mittelwert bilden. (Ich verwende hier Anführungszeichen, weil es genauer ist zu sagen, dass wir den Erwartungswert schätzen.)

Angenommen, wir möchten den Erwartungswert schätzen$\left< \psi \right| \hat{A} \left| \psi \right>$eines Betreibers$\hat{A}$in einem Staat$\left|\psi\right>$. Wir können wiederholt Folgendes tun: Bereiten Sie das System im Zustand vor$\left|\psi\right>$, und messen$\hat{A}$. Wenn wir das tun$n$Mal werden wir erhalten$n$Messergebnisse$A_1,\dots,A_n$. Hier jeweils$A_k$ist eine reelle Zahl – das Ergebnis der Messung$k$des Betreibers$\hat{A}$. Der Mittelwert der Messungen ist eine Schätzung des Erwartungswertes. Für groß$n$, sagt uns das Gesetz der großen Zahlen, dass wir erwarten sollten

$$\begin{align} \left< \psi \right| \hat{A} \left| \psi \right> \approx \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n A_k \,. \end{align}$$

Also ja, man kann den Erwartungswert schätzen, ohne die volle Verteilung zu messen.