Ist es notwendig, dass EM-Felder unter statischen Bedingungen abhängig sind und koexistieren?

Wenn sich keine Ladung bewegt, gibt es kein Magnetfeld. Eine ruhende Punktladung hat aus "ihrer" Sicht nur ein elektrisches Feld.

Elektrische und magnetische Felder sind jedoch nicht getrennt , da jemand, der sich in Bezug auf die ruhende Ladung bewegt, aufgrund des Verhaltens der Felder unter Lorentz-Transformationen ein Magnetfeld sehen würde . Sie können (für einige Situationen, z. B. die Punktladung) Rahmen finden, in denen das magnetische oder das elektrische Feld verschwindet, aber das ist von geringer Bedeutung.

Man kann die Maxwellschen Gleichungen nicht gerade lösen, wenn$E$Und$B$abhängig sind, aber wenn sie konstante Vielfache voneinander sind – selbst in nicht statischen Fällen.

Zum Beispiel, wenn$E=-B$, Dann$-\nabla\cdot{}E=\nabla\cdot{}B=0$also keine quellen. Das Faradaysche Gesetz sagt$\frac{\partial{E}}{\partial{t}}=\nabla\times{}E$und Maxwell-Ampere sagt$\frac{\partial{E}}{\partial{t}}+J=-\nabla\times{}E$. Aber$\frac{\partial{E}}{\partial{t}}=\nabla\times{}E$ist eine elliptische Gleichung erster Ordnung und kann bei gegebenen Anfangsdaten zumindest für eine kurze Distanz zeitlich vorwärts gelöst werden (vorstellbare Singularitäten könnten in endlicher Zeit auftauchen). Maxwell-Ampere-Kräfte$J=-2\nabla\times{}E$, also ist eine Art interessanter (und zeitveränderlicher) Stromdichte notwendig, um sie aufrechtzuerhalten$E=-B$. Aber physikalisch vernünftig oder nicht, Lösungen gibt es sicherlich.

Aus einer formelleren Perspektive das Lösen$\frac{\partial{E}}{\partial{t}}=\nabla\times{}E$zusammen mit$\nabla\cdot{}E=0$ist genau dasselbe wie lösen$d\eta=0$Wo$\eta$ist eine selbst-dual 2-Form auf$\mathbb{R}^4$mit seiner euklidischen Metrik. Gegeben seien drei beliebige pluriharmonische Funktionen an$\mathbb{C}^2$, man kann eine Lösung konstruieren$d\eta=0$,$\eta\in\bigwedge{}^+$; es gibt also viele nicht-triviale, globale, glatte Lösungen und auch viele Lösungen mit Singularitäten.

Nehmen Sie im statischen Fall an$E=fB$für irgendeine Funktion$f$. Die Maxwell-Gleichungen reduzieren sich auf$\nabla\times{}E=0$Und$\nabla\cdot{}E+\left<\nabla\log\,f,\,E\right>=0$. Dies ist ein elliptisches System erster Ordnung für$E$, also gegeben$f$man kann nach lösen$E$, zumindest wenn die Singularitäten von$\log\,f$sind nicht so schlimm. Wieder hat man viele, viele Lösungen, obwohl Quelle und Stromdichte nicht Null sein müssen, es sei denn$f=const$.