Ist Kraft ein kontravarianter Vektor oder ein kovarianter Vektor (oder beides)?

Ich verstehe Kraft als eine 1-Form, durch die folgende Argumentation. Gegeben sei ein zeitunabhängiger, konservativer Lagrangian$L$, sein Differential (eine 1-Form im reinsten Sinne) ist

$$\mathrm{d}L = p_a ~\mathrm{d}\dot{x}^a + f_a~\mathrm{d} x^a$$ wo $$p_a = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^a},~f_a = \frac{\partial L}{\partial x^a}.$$ Die Komponenten dieser 1-Form sind also die Kraft und der Impuls. Aus diesem Grund werden sowohl der Impuls als auch die Kraft als Komponenten eines Covektors interpretiert. Es sollte nicht überraschen, dass sie vom gleichen Typ sind, angesichts ihrer Beziehung nach Newtons zweitem Gesetz. Ich habe auch das Gefühl, dass es für das Momentum irgendwie natürlich ist, eine 1-Form zu sein, da es eine "duale" Natur zur Position gibt.

Nun zu Ihrer Bearbeitung. Bei gegebener Metrik kann jeder Vektor als 1-Form geschrieben werden. Da die Mannigfaltigkeit, in der Sie sich befinden, affin ist , können Sie Verschiebungen als Vektoren schreiben. Allerdings schreibt niemand alle Verschiebungs-1-Formen auf. Sie scheinen zu glauben, dass dies im Widerspruch zu der Tatsache steht, dass sich die Komponenten von 1-Formen "kovariant" und die von Vektoren "kontravariant" transformieren. Sobald Sie die Metrik verwenden, um „den Index zu senken“, wird ein Vektor in eine 1-Form transformiert. Angenommen, wir gehen von Koordinaten aus$x\rightarrow y$. Die Metrik transformiert sich als

$$g'_{ab} = \frac{\partial x^c}{\partial y^a}\frac{\partial x^d}{\partial y^b} g_{cd},$$ und ein Vektor $v$verwandelt sich als $$v'^a = \frac{\partial y^a}{\partial x^b} v^b.$$ Wenn wir diese Aussagen zusammenfügen, sehen wir das $v$mit dem erniedrigten Index transformiert als 1-Form sollte: $$v'_a = g'_{ab}v'^b = \frac{\partial x^c}{\partial y^a}\frac{\partial x^d}{\partial y^b} g_{cd} \frac{\partial y^b}{\partial x^e} v^e = \frac{\partial x^c}{\partial y^a} \delta_{de} g_{cd} v^e = \frac{\partial x^c}{\partial y^a} g_{cd} v^d = \frac{\partial x^c}{\partial y^a} v_c.$$

Ich habe hier eine Antwort , die das allgemeine Konzept echter physikalischer Vektoren und Tensoren beschreibt, die nützlich sein könnten. (Es können auch Dinge sein, die Sie bereits sehr gut kennen.)

Das ist superlang geworden, ich hoffe, du stirbst nicht an Altersschwäche, bevor du es zu Ende gelesen hast. Ich habe zumindest einige nützliche Titel von Abschnitten hinzugefügt, damit Sie einige Teile überspringen können. Die Schlussfolgerung ist, dass es viel plausibler ist, dass die Kraft ein Covektor ist (seine Komponenten sind kovariant).

---

Ko(ntra)varianter Vektor oder Komponenten?

Wir brauchen also Gleichungen der mathematischen Physik, um wahr zu sein, was bedeutet, dass sie in der Tat unveränderlich sind . Wir erreichen dies, indem wir Objekte wie postulieren$\vec{v}$oder$\vec{a}$. Wir haben dann Gleichungen dieser Art:

$$\vec{F} = m \vec{a}$$ Diese sind in Worten ausdrückbar und sprechen von Objekten, die "real" sind, und daher ist eine Vorstellung davon, dass sie mit einer Beschreibung variieren, wirklich absurd. Aber wie gewinnen wir quantitative Hypothesen, um sie zu testen? Wir postulieren, dass sie bestimmte Beziehungen zu anderen Objekten haben, die es uns ermöglichen, eine bestimmte Menge von Zahlen zu erhalten, die ein solches Objekt vollständig charakterisieren. Dieser Satz von Zahlen sind die Komponenten und können durch eine folgende Beziehung zusammengefasst werden (einschließlich der Einstein-Summenkonvention): $$\vec{v} = v^{\,i} \vec{e}_i$$ Das heißt, die Komponenten geben nur die Koeffizienten einer Summe von Objekten des gleichen Typs an. Wir kommen nicht an dem Schleier dieses mysteriösen, mit Pfeilen versehenen Objekts vorbei. Je. Konzepte wie Richtung oder Geschwindigkeit lassen sich nicht vollständig auf Komponenten reduzieren und es gibt immer diesen „Kern“ der Physik. Vektoren sind Vektoren und nicht weniger. Wir können jedoch einen anderen Satz von Kernobjekten wählen $\vec{e}'_j$. Seit $\vec{v}$wirklich invariant ist, haben wir $$v'^j \vec{e}'_j = \vec{v} = v^i \vec{e}_i$$ Aus den Argumenten, die in der oben in diesem Beitrag verlinkten Antwort skizziert sind, können wir die Koeffizienten der Beziehung ableiten $\vec{e}_i = (e_i)^j \vec{e}'_j$. Wenn wir es jedoch auf die vorherige Gleichung anwenden, erhalten wir $$v'^j = (e_i)^j v^i$$ $$\vec{e}_i = (e_i)^j \vec{e}'_j$$ Wobei ich die "Kern"-Beziehung ein zweites Mal gesetzt habe, um zu verstehen, dass sich die Komponenten des Vektors genau entgegengesetzt zu den Basiskomponenten transformieren . Dies ist auch die Bedeutung des Wortes "Kontravarianz" der Vektorkomponenten. Sie transformieren sich, um der Varianz der Basis entgegenzuwirken, sodass der Vektor als Ganzes invariant bleibt. (Wenn sich ein beliebiger Objektsatz wie die Basis transformiert, variieren sie gemeinsam, sind also kovariant.)

Beachten Sie, dass Fleisch nur das gerade Beschriebene angibt. Das Objekt ist invariant, die Komponenten transformieren sich. Er sagt nicht, dass Sie sowohl kovariant als auch kontravariant sein können, Sie bekommen nur eine. (Sie können dann einen Trick mit der Metrik verwenden , um die Natur zu ändern, aber das resultierende Objekt ist nicht "das Original". Dies betrifft auch Ihre Bearbeitung bezüglich der Relativitätstheorie.)

---

Hinweis zum "Verschiebungsvektor"

Die Komponenten des "Verschiebungsvektors" transformieren sich nur zufällig wie die eines Vektors im Fall von kartesischen Koordinaten (und flachem Raum) und nur dann, wenn die Verschiebung vom Ursprung genommen wird. Versuchen Sie, den Ursprung zu verschieben oder zu Polarkoordinaten oder einem anderen krummlinigen Koordinatensystem zu wechseln. Seine Komponenten werden sich ganz anders verändern als zB die der Geschwindigkeit.

Es ist gut, sich daran zu erinnern, dass für einen "echten Vektor" im Sinne von Komponententransformationen immer etwas "Differenziellerer" als "Unterschied" vorhanden sein muss.

---

Sind also die Komponenten der Kraft kontravariant oder was?

Wie z. B. in der oben in diesem Beitrag verlinkten Antwort angegeben, ist der ultimative "kontravariante" Referenzvektor die Geschwindigkeit und ihre Bruderbeschleunigung der zweiten Ableitung. In der klassischen Physik wollen wir auf jeden Fall die bereits erwähnte Gleichung$\vec{F} = m \vec{a}$halten.

Daher scheint es einfach zu sein, das zu sagen$\vec{F}$ muss ein Vektor mit kontravarianten Komponenten sein, da die Gleichung invariant (kontravariant in Komponenten) sein muss und die rechte Seite ein Vektor ist. Aber ist es?

Es gibt zwei Konventionen. Der erste sagt$m$ist nur eine Zahl, also$\vec{F}$muss ein Vektor sein. Aber Sie können in der Antwort von Zach McDargh und anderen Kommentaren sehen, dass es eine ziemlich nette Konvention sein kann, tatsächlich die Kraft zu haben, ein Covektor zu sein. Andernfalls müssten wir, wie Sie richtig bemerken, den bereits erwähnten Trick mit der Metrik anwenden, um die Indizes des die Kraft bestimmenden Gradienten und anderen unnötigen Kram zu erhöhen. Ich werde ein kurzes Argument von weiterer Eleganz geben, das das Newtonsche Gesetz mit der sogenannten Massenmatrix erläutert .

---

Die Massenmatrix

Betrachten Sie die kinetische Energie, es sieht so aus

$$T = \frac{1}{2} m v^2$$ Aber die $v^2$eigentlich bedeutet $\vec{v}\cdot\vec{v}$. Wenn wir jedoch die klassische Mechanik konstruieren und zur Lagrange- und Hamilton-Mechanik übergehen, stellen wir fest, dass die kinetische Energie der einzige Ort ist, an dem das Skalarprodukt notwendigerweise in die Konstruktion eingeht . Wir brauchen es nirgendwo anders, und wo es ist, gibt es auch$m$und umgekehrt .

Die andere lustige Sache ist, dass es bei mehreren unterschiedlich eingeschränkten Partikeln und mit unterschiedlichen Massen praktisch ist, sie alle mit einem einzigen Satz von Koordinaten zu beschreiben$\mathbf{q} =(q_1,\dots q_N)$. Anstatt jeden kinetischen Energieterm aufzuschreiben, ist es praktisch, die ganze Summe auszudrücken durch

$$T = \sum T_{\dots} = \frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}}^T \mathbf{M} \dot{\mathbf{q}}$$ mit $\mathbf{M}$die "Massenmatrix", die eine Mischung aus den Metriken der verschiedenen Partikel mal ihrer Masse ist, die $1/2$ist herkömmlich, und der Punkt über den Positionen bedeutet die zeitliche Ableitung.

Selbst wenn wir also bei nur einem Teilchen bleiben, scheint es natürlich, die "Massenmatrix" als zu definieren$M_{ij} = m g_{ij}$mit$g_{ij}$die Metrik ($\delta_{ij}$für das Skalarprodukt in kartesischen Koordinaten im flachen Raum). Wenn wir darauf bestehen, dass Metrik oder Masse in dynamischen Gleichungen nie separat vorkommen, reduzieren wir ein Element unserer Theorie, ohne ihre Physik zu ändern. Occams Rasiermesser ! Es ist einfacher, also muss es getan werden! (Bis wir Winkel und Distanzen in einem nicht-dynamischen Kontext messen wollen...)

Die Massenmatrix hat also zwei niedrigere Indizes und ist doppelt kovariant, genau wie die Metrik. Wenn wir es dann mit einem Vektor in einem Index kontrahieren, erhalten wir zB

$$p_i = M_{ij} v^j$$ Momentum ist also ein Covektor, dessen Komponenten sich kovariant transformieren. Es ist jetzt offensichtlich, dass wir es haben $$\vec{F}=m\vec{a} \to F_j = M_{ij} a^i$$ Oder noch besser für Systeme mit unterschiedlicher Masse $$F_j = \frac{d}{dt}p_j$$

Es gibt also kein Problem mit der Newtonschen Gleichung und ihrer Kovarianz. Durch dieses Argument ist es viel natürlicher, Kraft als Covektor zu definieren.

---

Eine Feinschmecker-Anmerkung: Sie könnten argumentieren, dass das Konzept einer Massenmatrix für die gesamte Argumentation nicht erforderlich ist. Aber ich nehme an, wir sind kein Landau, und wir wollen eine elegante Form des Newtonschen Gesetzes ohne willkürlich platzierte Metrik finden, anstatt das Newtonsche Gesetz aus der Lagrange-Mechanik "abzuleiten".

Es gibt zwei Arten von mathematischen Situationen, die Vektoren und Covektoren berücksichtigen. Das sind die:

1. Im Raum ohne Skalarprodukt (Skalarprodukt) sind sie sehr unterschiedliche Größen und man sollte sie niemals verwechseln.
2. Im Raum mit Skalarprodukt sind sie aus zwei Perspektiven betrachtet dasselbe. Man kann mit dem metrischen Tensor frei eine Entität in eine andere umwandeln, ob das Sinn macht oder nicht.

Wenn wir jetzt über Physik sprechen, finden wir viele verschiedene Theorien mit unterschiedlichen Räumen, einige haben ein Skalarprodukt und andere nicht. Zum Beispiel die$(x,y,z)$Raum der Newtonschen Mechanik ist das euklidische Punktprodukt gegeben, und die$(P,V)$Zustandsraum einer Gasmenge ist keiner gegeben. Kraft tritt nur in allen Arten von Mechanik auf, sei es Newton, Lagrange, SR, GR, Quantenmechanik, Quasiteilchenmechanik in Festkörpern und so weiter. Und hier ist meine bescheidene Beobachtung:

Die natürliche Definition von Kraft wird nur in den mechanischen Theorien verwendet, in denen die Räume das Skalarprodukt erhalten. Dies sind Newtonsche Mechanik, SR, GR, Newton mit Einschränkungen, einige Fälle von Quantenmechanik und so weiter. In diesen Fällen können Sie sich Kraft frei als Vektor oder Covektor vorstellen.

Und in den Theorien ohne irgendein implizites Skalarprodukt wird das Konzept der Kraft in einem abstrakten erweiterten Sinn verwendet (falls überhaupt verwendet). Solche Theorien umfassen Lagangsche und Hamiltonsche Mechanik, allgemeinere Fälle der Quantenmechanik, Quasiteilchenmechanik und dergleichen. In diesen Fällen wird explizit angegeben, was der Begriff Kraft bedeutet, und oft wird der Begriff Kraft überhaupt nicht verwendet. Dann folgen Sie einfach den Definitionen eines bestimmten Buches und denken nicht an diese Kräfte als an gewöhnliche Kräfte im Alltag. [Normalerweise wird die Kraft als Covektor gedacht und die Beschleunigung mit einer tensorischen Masse verbunden,$f_a=m_{ab}w^b$.]

Anderen (älteren) Antworten nicht widersprechen. Aber es scheint, dass sie den offensichtlichsten / überzeugendsten Grund ignorieren, warum Kraft als Covektor dargestellt wird: In der analytischen Mechanik wird das Kraftfeld als räumlicher Gradient einer skalaren potentiellen Energie abgeleitet,$F_i=-\partial V / \partial x^i$. Und der Gradient eines Skalars ist ein Covektor (auch bekannt als Differential der Funktion$V$).

In dem Fall, in dem die Kraft nicht von einem Energiegradienten abgeleitet wird (wie die Kraft, eine Billardkugel mit einem Queue zu stoßen oder einen Ziegelstein an einer Schnur zu ziehen), ist es überhaupt nicht klar, dass Sie vom Covektor profitieren würden Darstellung. Aber dann würden Sie sowieso nicht an einer Mannigfaltigkeit arbeiten, bei der die Invarianz von Tensoren unter Koordinatentransformationen nützlich ist.

Zusammenfassend stellen wir die Kraft in vielen physikalischen Anwendungen (Orbitalmechanik, E&M, SR, GR, QM) als Covektor dar, weil die "Kraft" ein räumlicher Gradient einer skalaren Energie ist. Dies gilt auch für nicht-mechanische Anwendungen, wie z. B. den Wellenzahl-Kovektor einer Wanderwelle,$\exp[i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t)]$, wo$k_i=\partial\phi/\partial x^i$der Gradient der skalaren Phasenfunktion ist$\phi(\mathbf{x})$. Siehe zB hier .

Ich würde argumentieren, dass eine Kraft ein kontravarianter Vektor ist. Stellen Sie sich einen Stein vor, der durch die Schwerkraft der Erde fällt. Das Gravitationspotential mgz ist horizontal und sein Differential ist eine 1-Form, dessen Kern eine horizontale Ebene ist.

Aber der Stein fällt senkrecht, was eine bevorzugte Richtung außerhalb des Kerns der 1-Form ist. Eine 1-Form hat außerhalb ihres Kerns keine solche Vorstellung von einer bevorzugten Richtung. Hier kommt das Skalarprodukt ins Spiel und definiert eine senkrechte Fallrichtung des Gesteins.

Sie stimmen also entweder zu, dass die 1-Form das Skalarprodukt jedes Mal, wenn es einen Körper in Bewegung versetzt, um eine senkrechte Richtung bittet, oder dass die Kraft bereits ein kontravarianter Vektor mit einer bestimmten Bewegungsrichtung ist.