Ist Mathematik eine Sprache?

Es ist mehr als das. Selbst wenn wir die Metapher von Galileo wörtlich nehmen, deutet er an, dass es eine Sprache der Mathematik gibt, insbesondere der Geometrie, und nicht, dass die Mathematik als solche eine Sprache ist:

„ Die Philosophie ist in diesem großartigen Buch – ich meine das Universum – geschrieben, das ständig unseren Blicken offen steht, aber es kann nicht verstanden werden, wenn man nicht zuerst lernt, die Sprache zu verstehen und die Zeichen zu interpretieren, in denen es geschrieben ist Sprache der Mathematik, und ihre Zeichen sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren, ohne die es menschlich unmöglich ist, ein einziges Wort davon zu verstehen ... "

Es gibt Sprachen der Physik, der Kunst, der Jurisprudenz usw., aber sie sind selbst keine "Sprachen". Ob wir die lexikalische Beschreibung von „Sprache“ als Kommunikationsmethode oder als Symbolsystem dafür nehmen, Mathematik ist nicht nur das. Es ist auch eine Disziplin, eine strukturierte Praxis in menschlichen Gemeinschaften, „ ein Sammelsurium von Techniken und Beweisen", wie Wittgenstein es ausdrückte. Schon bei rein sprachlichen Aspekten kann man mit Fug und Recht sagen, was zu Galileis Zeit nicht offensichtlich gewesen wäre, dass es mehrere mathematische Sprachen gibt. Euklid fasste eine von ihnen zusammen, die bis zum 17 , und islamische Algebraiker haben vor Cardanos und Vietas Transformation bedeutende Ergänzungen vorgenommen.Heute sind die Sprachen der Mathematik, wie sie gesprochen werden, trotz der Bemühungen von Russell und Bourbaki nicht Teile einer einzigen universellen Sprache, sagen die Sprache erster Ordnung der ZFC-Mengentheorie, obwohl große Teile davon sind in sie übersetzbar, es gibt auch alternative Sprachen, wie die Kategorientheorie oder den Konstruktivismus.

Aber Galileo meinte in seiner Metapher mehr als eine Sprache und berief sich auf die mittelalterliche Vorstellung von der verzauberten Natur, dem Buch der Natur , durch das Gott zuerst bekannt wird. Er hatte eine bestimmte Philosophie der Sprache und der Realität im Sinn, in der die Natur tatsächlich für das menschliche Lesen geschrieben wurde und mathematische Begriffe ihre verborgenen Gegenstücke in der Natur getreu widerspiegelten, um sie durch experimentelle „Befragung“ aufzudecken. Diese Idee, wenn auch mit einer anderen Entdeckungsmethode, zeigt bereits im Pythagoreischen „ alles ist eine Zahl “ und hat moderne Anhänger wie Tegmark, der Galileo wiederholt, indem er uns sagt, dass „die äußere Realität [nicht „beschrieben wird durch“!] Mathematik (genauer gesagt eine mathematische Struktur) “, vglWie kann die physikalische Welt eine abstrakte mathematische Struktur sein?

Aber es gibt auch eine Alternative zu dieser pythagoreisch-platonischen Version von Galileis Diktum, die sich seit Kant entwickelt hat, eine phänomenistische. Während die Idee, dass die menschliche, allzu menschliche Mathematik die Realität „an sich“ unterschreibt, für Phänomenalisten unsinnig war, erschien es viel plausibler, dass mathematische Sprachen in einzigartiger Weise dazu geeignet sind, unsere Erfahrungen damit auszudrücken, weil sie ihre eigentliche Textur auskleiden. Peirce und Husserl, zwei Philosophen der Wende des 20. Jahrhunderts, die von Haus aus Mathematiker waren und an den Ursprüngen der modernen analytischen/kontinentalen Kluft standen, entwickelten diese Idee weitgehend unabhängig voneinander. Laut Peirce ist alles Denken diagrammatisch (weit ausgelegt), und die Mathematik ist die Wissenschaft der reinen Diagramme (die enorme Erweiterung von Kants Schemata), sie wird somit zur ersten Philosophie, und die Quelle wissenschaftlicher Strukturen. Der frühe Husserl vertrat eine ähnliche Ansicht über mathematisierbare Apriori-Strukturen, die sich in der kategorialen Intuition der Erfahrung offenbarten, aber er änderte seine Meinung zwischen den beiden Ausgaben der Logischen Untersuchungen. WieStjernfelt kommentiert in Diagrammatology :

„ ... im ersten Heft wurde es als große phänomenologische Aufgabe angesehen, vage Formen in exakter mathematischer Sprache zu beschreiben – im zweiten Heft wurde diese Aufgabe zugunsten der Vorstellung ‚vager Essenzen‘ in der Erfahrung aufgegeben, die sind mathematisch nicht abbildbar angenommen. Warum Husserl diese zentrale Idee aufgab, ist schwer zu sagen – sie hat nicht unbedingt einen inneren Zusammenhang mit der bekannten ‚transzendentalen‘ Wende … “

Schon frühere Lebensphilosophen wie Dilthey und Bergson bestritten, dass mathematische oder naturwissenschaftliche Sprache angemessen ist, um gelebte Erfahrungen auszudrücken. Die analytische Tradition ging mit Peirce und den Neukantianern einher, indem sie eine phänomenalistische Version von Galileis Diktum bestätigten, während die kontinentale Tradition mit Husserl und Lebensphilosophen einherging, indem sie den Umfang von Galileos Natur und ihrer Sprache einschränkte, um (zumindest) Ethik, Kunst und Geisteswissenschaften auszuschließen. Es ist jedoch interessant, dass sich Quine in seinem letzten Buch Pursuit of Truth widerwillig einer solchen Einschränkung beugt:

„ Ich schließe daraus, dass die propositionalen Einstellungen de re einer Angliederung an die wissenschaftliche Sprache widerstehen, wie dies die propositionalen Einstellungen de dicto nicht tun … Dennoch haben die mentalistischen Prädikate trotz all ihrer Vagheit lange miteinander interagiert und uralte Strategien zur Vorhersage und hervorgebracht Erklärung menschlichen Handelns. Sie ergänzen die Naturwissenschaft in ihrer inkommensurablen Weise und sind sowohl für die Sozialwissenschaften als auch für unseren alltäglichen Umgang unverzichtbar. “

Um diese Passage vollständig zu würdigen, sollte man bedenken, dass „unverzichtbar“ für Quine eine ontologische Verpflichtung bedeutet, weshalb er nach seinen frühen nominalistischen Tagen mathematische Mengen und Zahlen selbst in die Ontologie aufgenommen hat, siehe Does Quines Auflösung der Analytic/Synthetic-Unterscheidungsherausforderung mathematischer Realismus?

Wenn „Sprache“ als Mittel zur Übermittlung von Informationen, Wissen, Gefühlen usw. von einer Quelle zu einem Empfänger definiert wird, dann erfüllt die Mathematik sicherlich die Anforderung.
Aus dieser Perspektive unterscheidet sich Mathematik nicht von Musik, Französisch, Fortran, Grundkenntnissen, Kunst usw.

In der mathematischen Logik haben wir eine formale Definition dafür, was eine Sprache ist:

Eine gegebene formale Sprache hat die folgenden primitiven Symbole.

1. Einzelne Variablen. A, B, C,..., Z, A', B', C',...,Z',A'',... .

2. Logische Symbole. Ich bin mir nicht sicher, wie ich sie auf dieser Seite formatieren soll, aber sie sind die logischen Operationssymbole oder, und, impliziert, nicht, wenn und nur wenn, und die logischen Quantifizierungssymbole für alle, es gibt, sowie = und ( ,).

3. Betriebssymbole. Diese variieren von einer Sprache zur nächsten in Anzahl (vielleicht gibt es sogar keine in einer bestimmten Sprache), Form und Rang. Jedem Operationssymbol ist eine natürliche Zahl 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 zugeordnet, die als Rang bezeichnet wird – wir brauchen für diesen Zweck nicht die Eigenschaften aller natürlichen Zahlen, sondern nur die erste 6. Ein Operationssymbol vom Rang 0 heißt individuelle Konstante .

4. Beziehungssymbole. Diese sind wiederum von Sprache zu Sprache unterschiedlich und haben jeweils einen Rang, der eine positive natürliche Zahl 1, 2, 3, 4 oder 5 ist.

Andere Symbole als diese sind nicht erlaubt, und die Spezifikation dieser Symbole zusammen mit ihren Rängen bestimmt vollständig eine bestimmte formale Sprache.

Wir tun dies hauptsächlich, weil faule Sprachvorstellungen in Kombination mit logischer Manipulation zu Paradoxien führen können. Russels Paradoxon ist ein klassisches Beispiel dafür – auf Englisch (oder jede andere Sprache im klassischen Sinne) kann ich Sie bitten, „die Menge aller Mengen zu betrachten, die sich selbst nicht enthalten“. Dieses Objekt scheint in keiner Weise wirklich zu „existieren“, es sei denn, ich kann Sie bitten, es zu berücksichtigen, da es Eigenschaften hat, die gleichzeitig „wahr“ und „falsch“ im tarskischen Sinne sind ( es ist ein Mitglied von sich selbst und kein Mitglied von sich selbst, und das eine impliziert das andere).

Durch die Formalisierung der Sprache und die axiomatische Entwicklung unserer Fähigkeit zur „Bildung von Mengen“ (die Formalisierung, wie es uns erlaubt ist, Objekte in unserem Kopf zu sammeln und über sie nachzudenken), vermeiden wir solche Probleme – das war das ursprüngliche Ziel der Mengenlehre, wie sie von dargelegt wurde Zermelo. Meiner Meinung nach sind diese Sprachen die wirklich interessanten und diejenigen, die eine robuste und rigorose logische Erforschung ermöglichen – jede gute Definition dessen, was eine Sprache ist, sollte sie beinhalten.

Dies ist eine ziemlich häufige Trope, aber wenn wir uns die Geschichte der Physik ansehen, sehen wir, dass die Physik zuerst ohne Mathematik theoretisiert wurde, dh Aristoteles Physics .

Es ist also durchaus möglich, Physik ohne Mathematik zu machen, aber vielleicht nicht jetzt, wenn man bedenkt, wie viel Physik in Mathematik geschrieben wird, aber man sollte dann nicht den Fehler machen, dass Physik irgendwie auf Mathematik reduzierbar ist.

In der Neuzeit wurde die Mathematik von Galileo in die Physik eingeführt, daher ist es vielleicht nicht so seltsam, dass Galileo eine solche Bemerkung machte.

Ob Mathematik eine Sprache ist, nun, es sollte offensichtlich sein, dass sie es nicht ist, trotz der Tatsache, dass es solche Begriffe wie eine Sprache in der Mathematik sowie Syntax und Semantik gibt; sie haben diese Begriffe aus der Linguistik entlehnt und beim Akt des Entlehnens transformiert, haben sie nur eine tangentiale Beziehung zur ursprünglichen Idee, genug, um zu sehen, warum die Entlehnung gemacht wurde und warum sie nützlich ist; aber nicht genug, damit die ursprüngliche Bedeutung beibehalten werden kann.

Also, nein. Mathematik ist keine Sprache.

Die Definition von Sprache ist laut dictionary.com „eine Gesamtheit von Wörtern und die Systeme für ihren Gebrauch, die einem Volk gemeinsam sind, das derselben Gemeinschaft oder Nation, demselben geografischen Gebiet oder derselben kulturellen Tradition angehört“.

Wenn Sie dies aufschlüsseln, beginnt eine Liste von Anforderungen. Es gibt vier Definitionen, aber jede von ihnen hat ähnliche Voraussetzungen:

1) Symbole oder Wörter

2) System zur Verwendung dieser Symbole oder Wörter

3) Wird von einer Gruppe verwendet

4) Kommunikation

Sollte die Definition die Fähigkeit zur Kommunikation umfassen? Die menschliche Sprache wird verwendet, um Gedanken zu übermitteln. Die Programmiersprache wird verwendet, um elektrische Impulse weiterzuleiten. Körpersprache kann verwendet werden, um unausgesprochene Emotionen und Gedanken zu interpretieren.

Die in Google eingegebene Sprache fügt der Mischung Kommunikation hinzu.

Vergleichen Sie als Nächstes die Mathematik mit den oben genannten Anforderungen:

1) Zahlen sind Symbole

2) Operatoren und Regeln sind ein System für die Verwendung

3) universell

4) erlaubt Mathematik Kommunikation?

Eine andere Möglichkeit, die vierte Anforderung zu formulieren, ist folgende:

Kommuniziert ein Komet mithilfe von Mathematik mit Menschen? Kommuniziert ein Komet seine Bahn mit der Sonne? Kommunizieren Menschen mit anderen Menschen nur über Mathematik? Kommunizieren Menschen mithilfe von Mathematik mit dem Kometen?

Wir können die Möglichkeit ausschließen, dass der Komet kommuniziert, was die Frage der Mensch-zu-Mensch-Kommunikation nur mit Hilfe der Mathematik überlässt.

Da Menschen Mathematik in einer Sprache ausdrücken müssen, finde ich es schwierig anzunehmen, dass dies der Fall sein kann. Insbesondere ist zwei ein Wort in der englischen Sprache. Ich kann nicht einmal eine so einfache Gleichung wie 2+2=4 kommunizieren, ohne englische Wörter zu verwenden. Selbst wenn jemand die Finger hochhält, um dies auszudrücken, muss ich ins Englische übersetzen, damit es für mich Sinn macht.

Meine Meinung ist, dass Mathematik keine Sprache ist. Ich schlage vor, Galileo drückte die Bedeutung der Verwendung von Mathematik aus, um die Welt zu erklären.

Es wird in der Tat oft argumentiert, dass „Mathematik die (Programmier-)Sprache (der) Gott(e) ist, die verwendet wird, um das Universum zu beschreiben“ . Obwohl diese Ansicht definitiv nicht unbegründet ist, müssen drei Überlegungen angestellt werden:

1. Mathematik lässt sich am besten als „Studium von Themen wie Quantität, Struktur, Raum und Veränderung“ beschreiben . Während bestimmte Teilbereiche der Mathematik alle Kriterien für eine Sprache erfüllen, geht das gesamte Gebiet der Mathematik darüber hinaus, und wir würden die Dinge zu stark vereinfachen, wenn wir argumentieren würden, dass Mathematik als Ganzes eine Sprache ist.
2. Trotz all seiner Eleganz und Verfeinerung wird jedes wissenschaftliche Modell, das auf Mathematik aufbaut, immer „nur“ ein Modell bleiben ... was bedeutet, dass jedes solche Modell immer „nur“ eine Annäherung an das tatsächliche Verhalten des Universums selbst darstellen wird . Man kann jedoch argumentieren, dass sich natürliche Sprachen nicht darin unterscheiden, dass sie nicht in der Lage sind, jeden menschlichen Gedanken oder jede menschliche Emotion konsistent und eindeutig zu beschreiben .
3. Angesichts von Phänomenen wie Emergenz impliziert die Vorstellung vom Universum als einem „Computerprogramm“, das in einer „mathematischen Sprache“ geschrieben ist, nicht per se einen „Programmierer“.

Ja, so wie Menschen durch natürliche Sprache miteinander kommunizieren oder indem sie ihre mentale Ebene über Sprache manifestieren und projizieren, interagiert die Natur oder die physische Welt über eine Sprache, die Mathematik genannt wird. Physikalische Gesetze manifestieren/projektieren sich in Form von Mathematik. Mathematik ist einfach die Sprache, die alles kodiert, was auf der materiellen Ebene existiert!